Закон больших чисел

Закон больших чисел устанавливает условия сходимости среднего арифметического случайных величин к среднему арифметическому математических ожиданий.

Определение 1. Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности p к числу b, если

 

Сходимость по вероятности коротко обозначают так: .

 

Теорема 2. (Закон больших чисел в форме Чебышева) Пусть – последовательность независимых случайных величин, дисперсии которых равномерно ограничены сверху, т.е. ; математические ожидания конечны, тогда

.

Доказательство. Так как DX_i £ c, i = 1, 2, …, n, то . Используя формулу (5) (следствие 2), имеем

 

.

 

Так как вероятность любого события не превышает единицы, получим двойное неравенство

.

 

Перейдем в этом неравенстве к пределу при и получим

.