Доказательство.

Доказательство.

 

Р(В/А) = Р(ВÇА)/Р(А) = Р(АÇВ)/Р(А) = {P(a/b)Р(В)}/Р(А) = {Р(А)Р(В)}/Р(А) = Р(В).

Из определения 4 вытекают формулы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

 

P(A₁A₂… A_n) = P(A₁)P_A1(A₂)P_A1A2(A₃)… P_{A1A2… An-1}(A_n).

Определение 6. События A_1, A_2, …, A_n независимы в совокупности, если независимы любые два из них и независимы любое из этих событий и любые комбинации (произведения) остальных событий.

Следствие 2. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P(A₁A₂… A_n) = P(A₁)P(A₂)… P(A_n).

P(A₁A₂… A_n) = P(A₁·A₂… A_n) = P(A₁)P(A₂… A_n).=…= P(A₁)P(A₂)… P(A_n).

Определение 7. Событие А₁,А₂,… А_n образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (А_i∩А_j = Ø, для любого i ≠ j)и в совокупности образуют Ω, т.е. .

Теорема 2.Если события А_1,A₂,… А_n образуют полную группу событий, Р(А_i) > 0 (так как не будет определено P(B/A_i)), то вероятность некоторого события B Î S определяется, как сумма произведений безусловных вероятностей наступления события А_i на условные вероятности наступления события B, т.е.

.(1)

Доказательство. Так как события А_i попарно несовместны, то их пересечение с событием B также попарно несовместны, т.е. B∩А_i и B∩А_j – несовместны при i ¹ j. Используя свойство дистрибутивности ((ÈА_i)ÇВ = È(А_iÇВ)), событие B можно представить как . Воспользуемся аксиомой сложения 3 и формулой умножения вероятностей, получим

.

Формула (1) называется формула полной вероятности.

Из формулы полной вероятности легко получить формулу Байеса, при дополнительном предположении, что P(B)>0

 

,

где k = 1, 2, …, n.

Доказательство.P(А_k/B) = P(А_k ∩ B)/P(B)

 

Вероятности событий P(А_i ), i =1, 2, …, n называются априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до выполнения опыта, а условные вероятности этих событий P(А_k/B), называются апостериорными вероятностями, т.е. уточненными в результате опыта, исходом которого послужило появление события В.

Задача. В торговую фирму поступили сотовые телефоны последних моделей от трех производителей Alcatel, Siemens, Motorola в соотношении 1 : 4 : 5. Практика показала, что телефоны, поступившие от 1-го, 2-го, 3-го производителя, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98 %, 88 % и 92 % случаев. Найти вероятность того, что поступивший в продажу телефон не потребует ремонта в течение гарантийного срока, проданный телефон потребовал ремонта в течение гарантийного срока, от какого производителя вероятнее всего поступил телефон.