Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

! Отметим, что все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены на некотором интервале (конечном или бесконечном), кроме, быть может, фиксированной точки .

4#. Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при , если .

существует и равен тогда и только тогда, когда , где - бесконечно малая при .

Если =, то, полагая, что , получим .

Если же верно обратное утверждение - и , то

.

☺

Непосредственно из свойств пределов последовательностей и определения предела функции по Гейне следует теорема 2:

.Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции при на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при . Частное от деления функции бесконечно малой при на функцию , предел которой при отличен от нуля, есть функция бесконечно малая.

5#. Функция называется бесконечно большой при , если для любогосуществует такое число , чтодля всех , удовлетворяющих неравенству , .

! Обозначим: = .

! Отметим, что если для любогосуществует такое число , что (соответственно ) для всех , удовлетворяющих условию , , то пишут

= +(соответственно ).

! Отметим, что по аналогии с конечными односторонними пределами определяются и односторонние бесконечные пределы: (завершите ряд односторонних бесконечных пределов):

= ; =; = +;…

До сих пор операцию предельного перехода мы рассматривали на интервале . Зададим открытый или полуоткрытый интервал, например, . Можно говорить о конечном пределе или бесконечном пределе .

Задание. Сформулируйте определение предела на основе предела функции по Коши.

Если функция при (или при ) и не обращается в нуль, то функция .

При любом сколь угодно большом будет выполняться неравенство , если только будет выполняться неравенство . Последнее неравенство будет выполняться для всех значений функции , начиная с некоторого, в силу того, что при (или при ).

☺