Уравнение Бернулли

 
 

Течение идеальной несжимаемой жидкости в пределах трубки тока описывается уравнением Бернулли.

Выделим объем жидкости, которая в некоторый момент времени t заполняет участок, ограниченный сечениями S1 и S2 (рис. 6.2). Давление в сечении S1 равно P1 , а в сечении S2 - P2 .

Если течение стационарное, то объем жидкости к моменту времени t+Δt переместится и будет заключен между сечениями и . Промежуток Δt выберем настолько малым, что скорости течения жидкости в пределах объема трубки тока, ограниченного сечениями S1 и , а также S2 и ,, можно считать постоянными.

Определим изменение полной механической энергии за малый промежуток времени Dt. За это время масса жидкости, заключенная между сечениями S1 и втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между сечениями S2 и вытекает из нее. Для идеальной жидкости изменение полной энергии DW равно разности полных энергий вытекающей и втекающей масс, или

DW = (T + U)2 – (T + U)1 , (6.4)

где T – кинетическая энергия выделенного объема жидкости, U - потенциальная энергия этого объема. Втекающая в выделенный объем и вытекающая из этого объема массы жидкости Dm равны, поэтому формулу (6.4) можно переписать через массу:

, (6.4)

Где υ2 и υ1 – скорости объема в сечениях S2 и S1 , h1 и h2 – высота сечений S1 и S2 относительно некоторого уровня, соответственно. Изменение полной механической энергии равно работе A внешних сил по перемещению массы Dm

DW = A.

На данный объем жидкостидействуют силы F1 = p1 S1 в сечении S1 , F2 = p2 S2 в сечении S2 и силы давления, приложенные к боковой поверхности трубки тока.

Сила F1 совершает работу A1 по перемещению втекающей массы на пути .

При перемещении вытекающей массы совершается работа A2 против силы F2 на пути u2 Dt.

Работа сил давления, приложенных к боковой поверхности трубки тока, равна нулю, так как эти силы направлены перпендикулярно к направлению течения жидкости.

Поэтому: A1=F1 u1 Dt, A2= – F2 u2 Dt. Знак минус означает, что сила F2 направлена против движения жидкости. Искомая работа A = A1 + A2 = F1 u1 Dt – F2 u2 Dt. Используя выражения для силы через давления, получим

A = p1 S1 u1 Dt – p2 S2 u2 Dt,

где S1 u1 Dt = S2 u2 Dt = DV - объем рассматриваемых масс. Поэтому

A = p1 DV – p2 DV. (6.5)

Приравнивая (6.4) и (6.5), получим

.

Выразив Δm через плотность r (Δm = rDV), получим

.

Поскольку сечения S1 и S2 выбраны произвольно, то в общем случае можно записать:

ru2/2 + rgh + p = const. (6.6)

Соотношение (6.6) представляет собой уравнение Бернулли. Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли имеет вид

ru2/2 + p = const. (6.7)

При отсутствии течения (υ=0) из (6.7)получим p = const. Это давление в выражениях (6.6) и (6.7) p называют статическим.

Величина ru2/2 - динамическое давление,

rgh ‑ гидростатическое давление.

Можно показать, что в случае установившегося течения константа в пра­вой части уравнения (6.6) одина­кова для всех трубок тока, т. е. что уравнение Бернулли справедливо для всего потока. ограниченного стенками трубы.

 

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода (или уменьшения сечения трубки тока) скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.

Пример 6.1. Применение уравнения Бернулли для расчета скорости истечения жидкости сквозь малое отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим сосуд, заполненный идеальной жидкостью. В боковой стенке его на глубине Н ниже уровня жидкости проделано малое отверстие (рис. 6.3).

 
 

 

 


Для двух сечений 1‑1 и 2‑2 запишем уравнение Бернулли

.

В этой формуле p1 = p2 ‑ атмосферное давление. Тогда

. (6.8)

Из уравнения неразрывности

,

где S1 и S2 ‑ площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Поскольку S1 >> S2 , то членом в левой части уравнения (6.8) можно пренебречь. Тогда

и . (6.9)

Полученное уравнение имеет название формулы Торричелли. Из нее видно, что частицы жидкости, выходя из отверстия, имеют такую же скорость, какую они приобрели бы, свободно падая с высоты Н.