Угловая скорость и ускорение. Связь между угловыми и линейными характеристиками движения

 

Скорости движения различных точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, различаются. Поэтому для описания вращения твердого тела вводят угловые величины, относящиеся ко всему телу в целом, а не к отдельным его точкам. Такими величинами являются угол поворота j, угловая скорость и угловое ускорение тела.

Вектор угловой скорости тела определяют в виде

, (1.18)

где dt – промежуток времени, за который тело совершает поворот . Вектор совпадает по направлению с вектором .

Изменение вектора со временем характеризуют вектором углового ускорения , который определяют в виде

. (1.19)

Направление вектора совпадает с направлением приращения вектора .

Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду (рад/с), а единицей углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

Используя определения (1.18) и (1.19), получим выражения для проекций угловой скорости и углового ускорения w_z и e_z на ось вращения z, (рис. 1.7)

; . (1.20)

 

 

Рис. 1.7

 

Формулы для расчета w(t) и j(t). можно получить интегрированием (1.20)

j(t) = w_zt + j₀ ; w_z(t) = e_zt + w_z0 . (1.21)

Выразим скорость произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, через угловую скорость . Пусть положение точки М относительно некоторой точки О оси вращения характеризуется радиусом-вектором r (рис. 1.10). Разделим обе части формулы (1.17) на dt. Т. к. и , то искомое выражение примет вид

, (1.22)

Модуль вектора скорости в формуле (1.22)

u = wR, (1.23)

где R – радиус окружности, по которой движется точка М.

Найдем полное ускорение точки М. Для этого продифференцируем (1.22) по времени

Þ . (1.24)

В данном случае ось вращения неподвижна, и векторы и параллельны. Вектор представляет собой тангенциальное ускорение . Вектор является нормальным ускорением . Модули этих ускорений равны

a_t = eR; a_n = w²R.

Модуль полного ускорения

.

Для решения задач, в которых вращение тела является равномерным, используются также понятия периода и частоты вращения. Периодом вращения Т называют промежуток времени, в течение которого тело, вращаясь с постоянной угловой скоростью w, совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол j = 2p. Частотой вращения п называют число оборотов, совершаемых телом за 1 с при равномерном вращении с угловой скоростью w. Связь между w и Т можно получитьиз формул (1.23), положив w₀ = 0, w_z = w, t = T, j₀ = 0 и j = 2p

Þ . (1.25)

Число оборотов в единицу времени равно

; или w = 2pn. (1.26)

Пример. Тело брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью u₀. Найти тангенциальное и нормальное ускорения в начале траектории (точке О), а также радиус кривизны в этой точке.

На брошенное тело действует только сила тяжести. Поэтому вектор полного ускорения равен вектору ускорения свободного падения, который разложим на две составляющих – тангенциальную и нормальную (рис. 1.11). Угол между векторами и равен a, т. к. направление вектора перпендикулярно направлению вектора , а направление вектора совпадает с направлением . Тогда модули векторов и равны

; .

 

Рис. 1.11

 

Радиус кривизны в начальной точке траектории О получим, переписав формулу (1.17) для модуля вектора и выразив радиус R

Þ .