Где ut – проекция вектора на направление вектора , которая равна модулю мгновенной скорости.

Рис.1.4

Если за малое время dt точка проходит по траектории путь, равный длине элементарной дуги ds, то модуль мгновенной скорости будет равен

, (1.12)

или производной от дуговой координаты s по времени.

Чтобы найти ускорение точки, продифференцируем (1.11) по времени

. (1.13)

Преобразуем последнее слагаемое этого выражения

. (1.14)

Определим приращение вектора на участке элементарной дуги ds (рис. 1.4). Можно показать, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке О. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус R соответствующей окружности – радиусом кривизны траектории в той же точке. Как видно из рис. 1.4, угол

,

откуда

.

Следует учесть, что при ds ® 0 угол между и стремится к π/2.

Введем единичный вектор нормали к траектории в точке 1, перпендикулярный к вектору в этой точке и направленный к центру кривизны. Запишем последнее равенство в векторном виде

. (1.15)

Подставив (1.13) и (1.15) в формулу (1.12), получим

 

Первое слагаемое в этой формуле называют тангенциальным
ускорением , а второе – нормальным

; . (1.16)

Таким образом, полное ускорение точки может быть представлено как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений (рис. 1.5). Тангенциальная составляющая описывает изменение скорости по модулю, а нормальная – по направлению.

 

Рис. 1.5

 

Модуль полного ускорения точки при движении по криволинейной траектории

. (1.17)

 

1.3 Вращение вокруг неподвижной оси.

Движение твердого тела, при котором две его точки А и В остаются неподвижными, называют вращением тела вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую АВ называют осью вращения тела.

Рассмотрим произвольную точку М тела, не лежащую на оси вращения АВ. При вращении твердого тела расстояния MA, MB и расстояние R от точки М до оси вращения должны оставаться неизменными. Таким образом, все точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны к этой оси. Вращение Рис.1.5

 

вокруг неподвижной оси совершают, например, роторы турбин, электрических двигателей и генераторов, коленчатые валы двигателей внутреннего сгорания и т. д.

Найдем элементарное перемещение любой точки А твердого тела при таком повороте. Положение точки А зададим радиусом-векто-
ром проведенным из некоторой точки О на оси вращения.

Тогда линейное перемещение конца радиуса-вектора (рис. 1.6) связано с углом поворота dj соотношением в векторном виде

. (1.18)

 

 

Рис. 1.6

 

Следует отметить, что равенство (1.17) справедливо лишь для бесконечно малого поворота , в пределах которого радиус-вектор можно считать неизменным. Направление этого вектора совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом, т. е. подчиняется правилу правого винта.