Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.
Величина
называется потоком вектора напряженности через площадку dS,
гдеЕn—проекция вектора напряжённости на нормаль n к площадке dS.
Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В×м.
Примечание.Полный поток вектора напряжённости электрического поля определяется интегрированием выражения для «элементарного» потока через площадку dSпо всей поверхностиS.
Немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) была доказана теорем, определяющая поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.
В соответствии с выводами предыдущего раздела, поток вектора напряженности 
сквозь сферическую поверхность радиусаr, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре, будет равен
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.
Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рисунок слева), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее.
Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.
Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e0, т. е. теорема Гаусса не теряет справедливости.
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей nзарядов.
Вводя суммирование под знак интеграла, записываем, что
Согласно закону Гаусса, каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Qi /e0.Следовательно,
Полученная формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:
поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0.
Примечание.В специальной литературе она также носит название теоремы Остроградского-Гаусса.
В общем случае электрические заряды могут быть размещены с некоторой объемной плотностью r=dQ/dV.. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,
Используя эту формулу, теорему Гаусса можно записать так:
