Колебания, которые совершаются под воздействием переменной силы, называются вынужденными.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Свободные колебания в силу наличия трения всегда будут затухающими. Чтобы колебания были незатухающими необходимо компенсировать потери энергии. Если рассматривать механические колебания, то роль фактора восполняющего эти потери может играть внешняя переменная сила, которую называют вынуждающей.

Рассмотрим колебания под воздействием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:

 

F = F_○соsω_вt. (22)

 

С учетом квазиупругой силы (1) и силы сопротивления (13) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется:

 

. (23)

Разделив правую и левую часть на m, и обозначив: , , , после перегруппировки слагаемых, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (24)

 

Решением этого уравнения будет функция:

 

s = Acos(ω_вt + φ₀). (25)

 

Это уравнение установившихся вынужденных колебаний. Здесь:

, (26)

 

. (27)

 

Как видно из (25), колебания, происходящие под воздействием гармонической вынуждающей силы спустя некоторое время, тоже становятся гармоническими (рис. 6). Их частота равна частоте вынуждающей силы ω_в.

Из выражения (26) для амплитуды видно, что ее значение зависит от соотношения частоты вынуждающей силы ω_в и собственной частоты колебательной системы ω_о. Очевидно, если подкоренное выражение будет минимально, то амплитуда вынужденных колебаний достигнет своего максимального значения. Исследование на экстремум дает: -2(ω₀² – ω_в²) ·2ω_в + 8β²ω_в = 0, ω_в² - ω₀² + 2β² = 0, что будет иметь место, если

 

. (28)

 

Амплитуда при этом достигает значения:

А_рез = . (29)

 

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной сис-темы получило название резонанса, а соответствующая частота вынуждающей силы – резонансной частотой колебаний.

Приведенные на рис.7 графики, которые называют резонансными кривыми, отличаются значением коэффициента затухания, действующего в колебательной системе. С уменьшением значения β, резонансные кривые становятся все острее, а величина А_рез все больше. Теоретически при β → 0 частота ω_рез→ ω₀, а амплитуда А → ∞.

Как показывает сопоставление (22) и (25), вынужденные колебания тела отстают по фазе от колебаний вынуждающей силы на φ₀. График зависимости φ ₀ от ω_в при различных значениях β приведен на рис.8.

Резонанс может иметь как полезные, так и вредные последствия. В одних случаях он может вызвать разрушение, и это приходится учитывать при конструировании мостов, самолетов, высотных домов. В других случаях, наоборот, стремятся создать условия для резонанса, например, при изготовлении музыкальных инструментов, в радиотехнике и т.д.

Автоколебания(качели, часы, электрический колебательный контур) – незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии. Причем поступление энергии регулируется самой колебательной системой.

Параметрические колебания – это колебания, возбуждаемые путем периодического изменения параметров колебательной системы. Пример: шарик на нити, длина которой периодически меняется.

 

 

5. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ

 

Возможны случаи, когда тело одновременно участвует в нескольких колебаниях. Например, барабанная перепонка уха одновременно воспринимает колебания от нескольких источников звука – голоса, шум, музыку и т.д. Встает задача получить уравнение результирующего колебания.

Решение данной и ряда других задач колебательного движения значительно облегчается и становится наглядным, если смоделировать колебание с помощью вращающегося вектора. Возьмем ось Х и из точки 0 на ней построим под углом j₀ вектор А (рис. 9). Если привести этот вектор во вращение с постоянной угловой скоростью w, то проекция конца вектора будет перемещаться вдоль оси Х в пределах от -А до +А туда и обратно, т.е. будет совершать колебания относительно точки 0. Длина проекции вектора Ав момент времени t будет определяться выражением: х = Аcosj. Как видно из рис.9, j = wt + j₀. Тогда координата конца вектора А (смещение) будетизменяться по гармоническому закону: х = А cos (wt + j₀).

Воспользуемся этой геометрической моделью, чтобы найти уравнение результирующего движения, в простейшем случае – сложении двух гармонических колебаний одного направления и с одинаковыми частотами ω:

(30)

Построим векторные диаграммы этих колебаний – вектора А₁ иА₂ (рис.10). Из рисунка видно, что проекция результирующего вектора А на ось Х:

х = х₁+ х₂ = Аcos(wt + j₀). (31)

 

Т.к. вектора А₁ и А₂ вращаются с одинаковыми скоростями ω, то и А будет вращаться с той же скоростью ω, а разность фаз колебаний в процессе движения меняться не будет –

φ₂ – φ₁ = (wt + j_0,2) - (wt + j_0,1) = j_0,2 - j_0,1 = const.

 

Применяя теорему косинусов, из треугольника ОСВ найдем результирующую амплитуду А: А² = А₁² + А₂² – 2А₁А₂ cos β.

Но β = π – (φ₂ – φ₁) = π – (φ₀₂ – φ₀₁) , тогда:

 

А² = А₁² + А₂² + 2А₁А₂ cos(φ₀₂ – φ₀₁). (32)

 

Для начальной фазы результирующего колебания φ₀ из ∆ОВD получим:

tg φ₀ = . (33)

 

Как видно из выражения (32) для А возможны три случая:

 

а) φ₀₂ – φ₀₁ = 0; А² = А₁² + А₂² + 2А₁А₂ = (А₁ + А₂)² ; А = А₁ + А₂.

 

б) φ₀₂ – φ₀₁ = π; А² = А₁² + А₂² - 2А₁А₂ = (А₁ - А₂)²; А = А₁ - А₂.

 

в) φ₀₂ – φ₀₁ – любое от 0 до π , в этом случае А₁ - А₂ < А < А₁ + А₂ .