События, частота и вероятность
Предмет теории вероятностей
Лекция № 1
Введение
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей, как и любая другая наука, возникла из потребностей практики. Интуитивно понятие вероятного и случайного всегда связываются с неоднозначностью и непредсказуемостью наблюдаемых явлений. Так, например, при бросании монеты невозможно предсказать упадет она орлом или решеткой. Легче рассчитать движение светил небесных, чем ответить на этот вопрос! Такая непредсказуемость явления определяется тем, что имеется множество объективных и субъективных причин, учесть которые при исследовании не представляется возможным. Однако когда подобные явления наблюдаются в массовом порядке, оказывается, что они часто подчиняются определенным закономерностям, называемым статистическими. Изучение закономерностей мира случайных явлений и составляет предмет теории вероятностей.
Теория вероятностей строгая математическая наука, отказываясь от детерминистических математических моделей, свойственных предсказуемым явлениям, она строит и использует при изучении случайных явлений свои специфические вероятностные модели. Обширной частью современной теории вероятностей является математическая статистика, наука о методах наблюдения и обработки результатов массовых явлений, в которых фактор случайности имеет немаловажное значение.
Становление теории вероятностей связано с трудами Б. Паскаля, П.Ферма, Я. Бернулли в XVII в. и их попытками проведения расчетов в азартных играх, поэтому игровые модели чрезвычайно популярны при изложении теории. Дальнейшее развитие теория вероятностей получила в XVIII века в трудах К. Гаусса, П. Лапласа, С. Пуассона в связи с широким применением математических методов анализа. В XIX веке русские математики П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов провели обоснование вероятностного метода, доказав ряд предельных теорем. В дальнейшем теория вероятностей получила развитие в работах Н. Винера, Р. Фишера, А.Н. Колмогорова и ряда других ученых XX века.
На практике часто встречаются ситуации, результат которых трудно спрогнозировать.
________________________
Пример. То, что застрахованный дом пострадает или будет уничтожен в течение некоторого периода времени – дело случая. Но страховой орган должен рассчитывать сумму страхового взноса за этот период.
________________________
Пример. Сколько времени будет идти маршрутка с площади Комсомольской до площади Горького – дело случая. Но Вы должны рассчитать время своего приезда.
________________________
Впервые такими ситуациями занялись математики в середине XVII века. Возникновение теории вероятностей связано с именами Гюйгенса (1629-1695), Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Якоба Бернулли (1654-1705), одного представителя из многочисленного математического клана Бернулли (31 математик). При этом лишь азартные игры были главным побудительным моментом в их деятельности.
Далее мы будем иметь дело со случайными событиями, поэтому нужно определить это понятие.
Определение. Событие – исход некоторого опыта.
Определение. Случайное событие – то, что может произойти либо не произойти.
Естественнее всего случайные события характеризовать следующим понятием.
Определение. Относительной частотой 
случайного события 
называется отношение числа 
появлений данного события к общему числу 
проведённых испытаний, в каждом из которых может появиться или нет данное событие:
.
Чаще всего оказывается (по крайней мере, теория вероятностей имеет дело именно с такими частотами, а иные ситуации в ней не рассматриваются), что:
,
где 
- некоторое число.
Определение. Такое число называется вероятностью появления случайного события .
Пример. Наблюдение броуновского движения (хаотического движения мельчайших частиц вещества, взвешенных в жидкости). Хаос здесь объясняется ударами молекул жидкости. Кинетическая теория газов даёт возможность подсчитать вероятность того, что в данном объёме жидкости не будет ни одной частицы, будет 
частицы.
Для проверки теории проводились эксперименты. Шведский учёный Сведберг провёл 
экспериментов. В подвергшейся наблюдению части пространства: 
раз не было частиц, 
раз была одна частица, 
раз было две частицы, 
раз было три частицы, 
раза было четыре частицы, 
раз было пять частицы, 
раз было шесть частиц, раз было семь частиц. Таким образом, он составил таблицу относительных частот:
,
,
,
,
,
,
.
Результаты наблюдений показали хорошее совпадение с теоретически предсказанными вероятностями.
________________________
Очень часто необходимо предсказывать характер протекания многих процессов, т.е. находить вероятности некоторых сложных событий, хотя мы можем определить частоты (а в пределе - вероятности) некоторых простых событий. Например, необходимо определить (с высокой степенью достоверности) поражение мишени хотя бы одним выстрелом из трёх произведённых, хотя мы легко можем определить вероятность попадания в мишень при одном выстреле.
Тогда строят модель таким образом. Полагают известной вероятность события :
и с помощью определённых процедур находят вероятности нужных случайных событий.
Определение вероятности появления события по вероятностям элементарных событий, изучение вероятностных закономерностей (различных случайных событий) и является предметом теории вероятностей.
Укажем на одно важное свойство вероятности случайных событий. Поскольку 
, а 
, то вероятность случайного события измеряется в долях единицы, т.е. 
,