Центральная предельная теорема
Пусть x1, x2, …, xn … — последовательность независимых случайных величин. Обозначим
Если последовательность x1, x2, …, xn … подчиняется ЗБЧ, то в правой части приближенного равенства
стоит неслучайная величина. Нас интересует вопрос: насколько вероятны отклонения левой части от правой.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает: при некоторых условиях функция распределения суммы неограниченно растущего числа случайных величин сходится к нормальной функции распределения, т.е.
где, напомним, Ф(х)—функция распределения стандартного нормального закона.
Приведем одну из многочисленных теорем, объединенных под общим названием «центральные предельные теоремы».
Теорема (Леви). Пусть x1, x2, …, xn — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с Еxi = а и конечной дисперсией Dxi = s2, i = 1, 2,..., тогда при п ® ¥ справедливо
Доказательство теоремы Леви можно найти в [3,5].
Замечание. Приведенные ранее теоремы Муавра-Лапласа тоже относятся к центральным предельным теоремам.
Пример. Производится выборочное обследование партии лампочек для определения средней продолжительности их горения. Каков должен быть объем выборки, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9876, утверждать, что средняя продолжительность горения лампочки по всей партии отклонялась от средней, полученной в выработке, не более чем на 10 ч., если среднеквадратическое отклонение продолжительности горения лампочки равно 80 ч.
Пусть п — число требуемых лампочек, x k - продолжительность горения k-й лампочки, k = 1,2,...,n, и по условию s = 80. Из условий следует, что должно выполняться
С другой стороны, по центральной предельной теореме
Отсюда получаем уравнение для нахождения п:
Из таблицы значений функции Ф0(x) (см. Таблицу 1 Приложения) находим п = 400, так как из Ф0(x) = 0,4938 находим x = 2,5, следовательно = 8·2,5 = 20.