Независимость случайных величин

Пусть {W, F, Р} — вероятностное пространство, x₁(w), x₂(w), …, x_n(w) -заданные на нем случайные величины, и A₁, A₂, …, A_n - конечные или бесконечные промежутки в ¹.

Определение. Случайные величины x₁(w), x₂(w), …, x_n(w) называются независимыми, если выполняется следующее равенство

Как следствие, если взять в качестве A_i = ( -¥, x_i), i = 1,2,..., n, получим: случайные величины x₁, x_2, … x_n независимы, если выполняется следующее равенство

Отметим, что имеет место и обратное утверждение, т.е. если случайные величины x₁, x_2, … x_n независимы, то выполняется следующее равенство

(доказательство этого утверждения можно найти в [1]).

Для проверки независимости двух случайных величин иногда удобно пользоваться следующими результатами.

Теорема. 1). Если случайный вектор x = (x₁, x₂) имеет дискретное распределение, то случайные величины x₁ и x₂ являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство

где a_i, b_j—значения случайных величин x₁ и x₂, соответственно.

2) Если случайный вектор x = (x₁, x₂) имеет непрерывное распределение, то случайные величины x₁ и x₂ являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Пример 1. Пусть случайные величины x₁ и x₂ имеют совместную функцию распределения

 

Проверим, являются ли независимыми случайные величины x₁ и x_2. Найдем функции распределения этих случайных величин.

 

 

 

 

Теперь проверим:

Значит, x₁ и x₂ независимые случайные величины.

Пример 2. Пусть таблица распределения дискретного случайного вектора (x₁, x₂)следующая:

Проверим независимость случайных величин x₁ и x₂. Находим частные распределения x₁ и x₂ (см. 2.4.2.):

 

 

Теперь проверим соотношение из пункта 1) теоремы 1:

Соотношение 1) не выполнено. Отсюда получаем, что случайные величины x₁ и x₂ являются зависимыми.

Пример 3. Пусть x₁ и x₂ —независимые случайные величины. Рассмотрим случайную величину h = x₁+x₂ Тогда, используя свойство 3 из предыдущего пункта и независимость случайных

величин x₁ и x₂, получаем

Дифференцируя последнюю формулу, получаем выражение для плотности p_h(t) распределения суммы h = x₁+x₂:

Полученное выражение носит название «формулы свертки».