Случайные векторы

Пусть {W, F, Р} —вероятностное пространство, x₁(w),x₂(w), …, x_n(w) — заданные на нем случайные величины. Для любого w Î W определим

x(w)=(x₁(w),x₂(w), …, x_n(w)),

т.е. упорядоченную последовательность п случайных величин со значениями в ¹.

Определение 1. Случайным вектором называется отображение

x : W ® Âⁿ

Иногда, x = (x₁, x₂, … x_n) называется также многомерной случайной величиной. Здесь x₁, x₂, … x_n (проекции вектора x на каждую ось) — случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве {W, F, Р }.

 

Определение 2. Функцией распределения случайного вектора x называется следующая функция

F_x(x₁, x₂, …, x_n)=P(x₁< x₁, x₂< x₂, … , x_n< x_n).

Функцию F_x(x₁, x₂, …, x_n) называют также совместной функцией распределения случайных величин x₁, x₂, … x_n ._.

В дальнейшем мы в основном будем иметь дело с двумерным случаем. Поэтому мы остановимся на нем, отметив, что n-мерный случай рассматривается аналогично.

Ограничимся перечислением свойств двумерной функции распределения, отметив лишь, что они доказываются аналогично соответствующим свойствам одномерной функции распределения.

1). 0 £ F_x(x₁, x₂) £ 1, для любых (x₁, x₂) Π².

2). F_x(x₁, x₂) — неубывающая функция по каждому из аргументов x₁, x₂.

3). F_x(-¥, x₂) = F_x( x₁, x₂) = 0, F_x(x_1, -¥) = F_x( x₁, x₂) = 0,

F_x(-¥ _, -¥) = F_x( x₁, x₂) = 0,

F_x(+¥ _, x₂) = F_x( x₁, x₂) = F(x₂),

F_x( x_1,+¥) = F_x( x₁, x₂) = F (x₁),

F_x( +¥ _,+¥) = F_x( x₁, x₂) = 1.

4). P(a₁£ x₁< b₁, a₂£ x₂< b₂)= F_x( b₁, b₂)- F_x( b₁, a₂)- F_x( a₁, b₂)+ F_x( a₁, a₂).

5). F_x( x₁, x₂) — непрерывная слева по каждому из аргументов x₁ и x₂ функция.