Задачи к 2.2

1. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:

P	0,10	0,20	0,35	0,20	0,10	0,05

 

а) Убедиться, что задан ряд распределения.

б) Найти функцию распределения.

в) Определить вероятность того, что более 20% людей откликнутся на рекламу.

 

2. В автомагазине ведётся ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения следующих ежедневных продаж:

P	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

 

а) найти вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от 2 до 4 (включая 2 и 4);

б) составить функцию распределения числа автомобилей, продаваемых ежедневно.

 

3.Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Аудитор случайно отбирает 3 входящих документа.

а) Найти закон распределения случайной величины – числа ошибок, выявленных аудитором.

б) Построить функцию распределения и её график.

в) Определить вероятность того, что аудитор обнаружит более чем одну ошибку.

 

4. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения и найти функцию распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

 

5. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа.

 

6. Экзаменатор задаёт студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырёх либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов.

 

7. Владелец антикварного аукциона полагает, что предложения цены за определённую картину будут равномерно распределённой случайной величиной в интервале от 500 тыс. до 2 млн. руб.

а) Найдите плотность распределения предложения цены;

б) Определите вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую чем 675 тыс.;

в) Найдите вероятность того, что цена картины будет выше 1 млн. руб.

 

8. Предположим, что в течение года цены на акции некоторой компании подчинялись нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию была более 60 у.е.? Ниже 60 у.е. за акцию? Выше 40 у.е. за акцию? Между 40 и 50 у.е. за акцию?

 

9. Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов, хотя в ресторане было лишь 15 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 15 посетителей придут на заказанные места?

 

10. Срок службы жесткого диска компьютера – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средней в 12000 ч. Найдите долю жестких дисков, срок службы которых превысит 20000ч. Ответ: 0,1882.

 

11. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с λ = 0,25 дня. Найдите долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя 7 дней?

 

12. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.

 

13. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 мин.

1. Чему равна функция распределения F(x) для этого равномерного распределения?

2. Чему равна вероятность ожидания лифта более чем 3,5 мин?

3. Чему равна вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 сек?

4. Чему равна вероятность, что время ожидания лифта в диапазоне от 1 до 3 мин (между 1 и 3 мин)?

 

14. Еженедельный выпуск продукции на заводе распределён приблизительно по нормальному закону со средним значением а=134786 ед. продукции в неделю и σ = 13000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции:

а) превысит 150000 ед.;

б) окажется ниже 100000 ед. в данную неделю;

в) предположим, что возникли трудовые споры и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 ед

Менеджеры обвиняют профсоюзы в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюзы утверждают, что выпуск находится в пределах принятого уровня (±3σ). Доверяете ли Вы профсоюзам?