Дискретная случайная величина

Дискретный и непрерывный типы распределений

Определение. Случайная величина x называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений.

Такая случайная величина характеризуется следующей таблицей, которая называется таблицей распределения:

Здесь a₁, a₂, ... , a_n, ... — значения случайной величины x, a p₁; p₂, … , p_n, ... — вероятности этих значений, т.е.

p_k = Р(x = a_k), S_k p_k = 1.

По этой таблице можно построить функцию распределения случайной величины x. Пусть x — дискретная случайная величина, заданной таблицей распределения, причем a₁, a₂, ..., a_n расположены в порядке возрастания:

 

Рассмотрим значения функции распределения случайной величины x на интервалах: (-¥, a₁], (a₁, a₂], ..., ( a_n-1, a_n] и (a_n,¥).

Пусть х Î (-¥ , a₁], тогда событие { x < x} становится невозможным, поэтому F_x(x) = 0. Если х Î (a₁, a₂], то F_x(x) = Р(x < x) = Р(x = a₁), и поэтому F_x(x) = p₁.

Аналогично, если х Î (a₂, a₃], то событие {x < x } = {x = a₁} È {x = a₂}, и поэтому F_x(x) = p₁+ p₂.

Рассуждая аналогично, получаем, если х Î (a_k-1, a_k], то F_x(x) = p₁ + p₂ + ... + p_k-1.

Наконец, если х > a_n, то событие {x < x } становится достоверным, и поэтому F_x(x) =1.

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины x является кусочно-постоянной функцией (ступенчатой), принимающей на интервале (- ¥, a₁], значение 0, на интервалах (a_k-1, a_k], k = 2,3,..., п— значение p₁ + p₂ + … + p_k-1 и на интервале (a_n, ¥)—значение 1. Это записывается так:

 

График этой функции выглядит следующим образом:

Замечание. Для дискретной случайной величины x имеет место

где А — произвольное множество из ¹.

Пример. Игроку присуждается одно очко, если при подбрасывании монеты выпадает «решетка», и ничего не присуждается в противном случае. Построим график функции распределения выигрыша игрока после трех бросаний монеты.

Пусть x — выигрыш (число очков) игрока после трех бросаний. x — дискретная случайная величина, и она может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности p_i, i= 1,2,3,4:

p₁=P(x = 0) =1/8, p₂=P(x = 1) =3/8

p₃=P(x = 2) =3/8, p₄=P(x = 3) =1/8.

Эти вероятности подсчитаны следующим образом: например, событию {x = 2} соответствуют три из восьми возможных элементарных событий (соответствующие исходам, когда в одном из трех бросаний выпала «решетка», а в двух других — «герб»). Таблица распределения случайной величины x выглядит так:

 

Используя рассуждения, аналогичные вышеуказанным, находим функцию распределения случайной величины x :

 

 

 

Построим график этой функции