Гипергеометрическое распределение

Пусть имеется п шаров, среди которых п₁ белых и n₂ черных (п = n₁ + n₂). Выберем k элементов без возвращения. Нас интересует вероятность события А = {среди выбранных окажется k₁ белых и k₂ черных шаров (k = k₁ + k₂)}.

Общее число исходов есть число сочетаний из п элементов по k, т.е. C_n^k. А число исходов, благоприятствующих к событию А равно, что объясняется просто: k₁ шаров мы можем выбрать из имеющихся n₁ белых шаров способами, a k₂черных шаров из имеющихся n₂ черных шаров способами, при этом любой способ выбора шаров, скажем, белого цвета комбинируется с любыми способами выбора шаров черного цвета. Тогда

Определенные таким образом вероятности носят название гипергеометрического распределения.

Рассмотрим случай, когда среди п шаров n₁ белых, n₂ черных,..., n_j красных шаров (п = n₁ + n₂ + ... + n_j). Выбираем k шаров так, чтобы среди них оказалось k₁ белых, k₂ черных,..., k_j красных шаров (k = k₁ + k₂ + ... + ). Событие, состоящее из таких выборок, обозначаем через А и аналогичными рассуждениями, как и в случае наличия шаров двух цветов, получаем

Пример. Из колоды в 52 карты наугад вынимаем 3 карты. Нас интересует вероятность события А = {вынуты «тройка», «семерка», «туз»}. Общее число элементарных исходов равно C³₅₂. Исходы, благоприятные к событию А определяются так: выбирается одна «тройка» из четырех имеющихся «троек» различных мастей, одна «семерка» из четырех имеющихся «семерок» различных мастей и один «туз» из четырех имеющихся «тузов» различных мастей. Используя вышеприведенную формулу получаем