Случайные события. Операции над ними

Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства

Случайное событие является одним из основных понятий теории вероятностей и связано с проведением некоторого эксперимента. Под экспериментом следует понимать выполнение определенного комплекса условий. Возможный набор исходов эксперимента W = {w} будем называть пространством элементарных событий. Точки или элементы этого пространства называются элементарными исходами или элементарными событиями.

Пример 1. Самый простой эксперимент имеет два исхода. Например, бросание монеты, где исходами являются выпадение «герба» или выпадение «решетки»; испытание промышленных изделий на «дефектность» или «годность», относятся к таким экспериментам. Здесь исходы обозначаются символами 0 и 1. Обычно их называют неудачей и успехом, соответственно. Пространство элементарных событий W состоит из двух точек: W = {0,1}.

Пример 2.А) Бросание правильной игральной кости один раз, где исходом является число очков (от 1 до 6) на выпавшей грани — пример эксперимента с большим числом исходов. Здесь возможные исходы образуют множество W = {1,2,3,4,5,6}.

Б) Бросание игральной кости дважды, где исходами являются пары (i,j) — число очков на выпавшей грани, соответственно, первой и второй кости. Здесь W = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2, 2), ... ,(6, 5), (6, 6)}.

 

Пусть А Î W — произвольное подмножество пространства элементарных событий W для некоторого эксперимента. Проведение эксперимента сводится к наблюдению элементарного исхода w, которое является элементом W. Если w Î А, то говорят, что произошло событие А. Если же это не так, то говорят, что событие А не произошло.

Событие, отвечающее всему множеству W элементарных исходов, называется достоверным (оно происходит всегда, так как w Î W при любом исходе w). Событие, отвечающее пустому множеству Æ, называется невозможным.

Для лучшего восприятия следующих понятий мы воспользуемся так называемой диаграммой Венна. Все пространство W будем изображать прямоугольником, каждое элементарное событие w будет соответствовать некоторой точке прямоугольника, а каждое событие А — некоторой области А, принадлежащей прямоугольнику.

Определение 1. Будем говорить, что событие А содержится в событии В (или А влечет за собой В) (обозначение: А Í В), если любое элементарное событие w из А входит в В.

Определение 2. События А и В совпадают или равны ( А = В ), если А Í В и В Í А.

Определение 3. Объединением (суммой) двух событий А и В (А È В) будем называть событие, состоящее из элементарных событий, которые входят или в А или в В.

Замечание 1. Из определения 3 вытекает, что сумма событий А È В есть событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В.

Определение 4. Пересечением (произведением) двух событий А и В (А Ç В) будем называть событие, состоящее из элементарных событий, которые входят и в А, и в В.

Замечание 2. Пересечение событий А Ç В есть событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят совместно оба события А и В.

Определение 5. События А и В называются несовместными, если А Ç В = Æ (т.е. пересечение А и В есть невозможное событие).

 

Определение 6. Дополнением ( Ā ) к событию А (или противоположным к А) называется событие, состоящее из тех элементарных событий w Î W, которые не входят в А.

Замечание 3. Дополнение Ā есть событие, которое происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

Определение 7. Разностью между событиями А и В ( А\В ) будем называть событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят в А, но не входят в В.

Замечание 4. Разность событий А\В есть событие, которое происходит тогда и только тогда, когда событие А происходит, а событие В не происходит.

Множество {А_i} называют счетным, если элементы этого множества можно сопоставить со всеми натуральными числами, т.е. можно занумеровать в бесконечную последовательность А₁, А₂,...,А_n,.... Множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством.