В круглой цилиндрической трубе
Равномерное ламинарное движение жидкости
При равномерном движении жидкости в трубах
Общее выражение потерь напора на трение
| Рис. 5.4 |
, (5.14)
. (5.15)
Выражение (5.15) определяет потери напора при равномерном движении жидкости в круглой трубе.
В гидродинамике касательное напряжение τ0 связывают со средней скоростью течения :
, (5.16)
где Сf - коэффициент местного трения.
Подставляя в (5.15) вместо τ0 его выражение из (5.16), получим
. (5.17)
Выражение (5.17) известно в литературе как формула Дарси-Вейсбаха.
Введём понятие коэффициента гидравлического трения и определим его как λ=4Cf. Тогда формулу Дарси-Вейсбаха (5.17) можно написать в виде:
. (5.18)
В формуле (5.18) потери напора по длине связаны с удельной кинетической энергией потока , потерями которой они и являются.
Величина τ0/ρ имеет размерность квадрата скорости. Обозначив τ0/ρ=U*2, где U* - скорость касательного напряжения на стенке (или динамическая скорость), можно, используя (5.16), представить коэффициент гидравлического трения в виде
(5.19)
Рассмотренный подход использован для построения формулы потерь напора на местные сопротивления. Учитывая, что эти потери практически не зависят ни от длины участка трубы, ни от её диаметра, можно написать:
, (5.20)
где ζМ - безразмерный коэффициент местных потерь; - средняя скорость потока после прохода через местное сопротивление.
Формула (5.20) известна как формула Вейсбаха для местных сопротивлений. К этому виду можно привести и формулу (5.18), если обозначить , то
. (5.21)
Распределение скоростей по сечению круглой трубы
Рассмотрим установившееся равномерное движение жидкости в цилиндрической трубе при ламинарном режиме (рис. 5.5).
Совместив ось скоростей с осью трубы, и приняв нормаль к ней за ось радиуса r, напишем выражения для касательного напряжения в жидкости:
| Рис. 5.5 |
; (5.22)
б) согласно основному уравнению (5.13) установившегося равномерного движения
. (5.23)
Приравняем правые части (5.22) и (5.23) и разделим переменные:
. (5.24)
Интегрируя (5.24), найдём:
. (5.25)
Используем условие прилипания на стенках: при r=r0 скорость U=0. Тогда
(5.26)
и уравнение (5.25) примет вид
. (5.27)
Таким образом, изменение скорости в поперечном сечении трубы описывается квадратичной параболой (рис. 5.5). Формула (5.27) выражает закон Стокса.
У стенок трубы (r=r0) скорость равна нулю, на оси трубы (r=0) - максимальна:
. (5.28)
Расход и средняя скорость течения
Расход жидкости в трубе можно найти, суммируя элементарные расходы, проходящие через кольцевые площадки dω радиусом r и шириной dr (рис. 5.5):
,
где ω=πr2 и dω=2πrdr.
Подставив в это уравнение выражение для U из (5.27), получим
.
Интегрируя, получим выражения для расхода
(5.29)
и для средней скорости
. (5.30)
Из сопоставления (5.28) и (5.30) видно, что
,
то есть, средняя скорость при ламинарном движении жидкости в трубе равна половине максимальной.
Потери напора на трение в круглой трубе
С учетом (5.30) можно получить выражение для гидравлического уклона:
Заменяя динамический коэффициент вязкости кинематическим, получаем формулу Пуазейля-Гагена для потерь напора по длине при ламинарном движении:
. (5.31)
Формула (5.31) показывает, что потери напора на трение при ламинарном режиме прямо пропорциональны средней скорости движения, и что потери не зависят от состояния внутренней поверхности стенок трубы.
Преобразуем формулу (5.31), выразив потери напора через скоростной напор:
(5.32)
Сопоставляя (5.32) с (5.18), найдем
.
Зависимости (5.31) и (5.32) с большой точностью подтверждаются опытом только для ламинарных течений в круглых трубах с гладкими стенками. При других режимах коэффициент λ зависит от конфигурации потока и числа Рейнольдса:
.
Литература по содержанию лекции:
1. Чугаев Р. Р. Гидравлика (Техническая механика жидкости). - Л.: Энергоиздат, 1982. - 672 с.
2. Штеренлихт Д. В. Гидравлика. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 640 с.