Поверхностный интеграл
Площадь поверхности
Пусть в пространстве задана некоторая гладкая поверхность и пусть Произведем разбиение
области на частичные подобласти Это разбиение индуцирует разбиение поверхности на частичные поверхности Возьмем произвольно точку и в соответствующей точке построим плоскость касательную к поверхности Цилиндр с основанием и образующей, параллельной оси вырежит из этой плоскости кусок Обозначим через площадь куска а через диаметр разбиения
Определение 4. Если существует конечный предел и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют площадью поверхности
Теорема 3.Пусть поверхность задаётся уравнением причем функция и её частные производные непрерывны в замкнутой ограниченной области Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле
Доказательство.Вычислим площадь куска Так как то
где площадь области а угол между плоскостями и Угол очевидно, равен углу между нормалями и плоскостей и соответсвенно. Так как то
Следовательно, По определению 4 имеем
Теорема доказана.
Пример 3.Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезан-
ную цилиндром
Решение.Здесь область есть круг Площадь искомой поверхнос-
ти находим по формуле (8):
Лекция 6. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности) и его вычисление. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Поток векторного поля, его свойства и вычисление. Дивергенция, её физический смысл и свойства. Формула Остроградского-Гаусса
Пусть в пространстве переменных и задана некоторая поверхность и пусть функция определена на этой поверхности. Произведём разбиение поверхности на частичные поверхности с помощью конечного числа непрерывных кривых. Возьмём произвольно точки и составим интегральную сумму где площадь куска . Обозначим .
Определение 1. Если существует предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначают
Теорема 1.Если поверхность задана уравнением и функции
непрерывны в замкнутой ограниченной области а функция непрерывна на поверхности то
Доказательствоследует из равенства
и теоремы о среднем Подставляя это в предыдущее равенство и учитывая непрерывность всех функций, будем иметь
Теорема доказана.
Так как поверхностный интеграл сводится к двойному, то для него справедливы все свойства последнего: линейность, аддитивность, монотонность, теорема о среднем и т.д. Мы не будем их выписывать. Механический смысл поверхностного интеграла состоит в следующем: если плотность пластинки в точке то масса этой пластинки.
2. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Ориентируемые поверхности и поток векторного поля через поверхность
Пусть некоторая область в пространстве
Определение 2.Говорят, что в области задано векторное поле если в каждой точке определен вектор
Это определение не зависит от выбора системы координат в Если в выбрана декартова система координат, то каждой точке ставится в соответствие вектор
Примеры векторных полей: а) скорость движущейся жидкости в точке (векторное полей скоростей жидкости); б) гравитационное поле (здесь тело массой (масса земли) находится в точке а тело единичной массы находится в точке и на неё действует сила , гравитационная постоянная).
Векторное поле называеется непрерывным (кусочно непрерывным, гладким, непрерывно дифференцируемым) в области , если все его компоненты непрерывны (соответственно: кусочно непрерывны, гладки, непрерывно дифференцируемы) в области .
Пусть векторное поле определено в области .
Определение 3. Линия называется векторной линией поля если в каждой точке поле касается кривой Поверхность называется векторной трубкой поля если она сплошь состоит из векторных линий этого поля.
Теорема 2. Пусть поле непрерывно дифференци-
руемо в области . Если параметрические уравнения векторной линии поля то для всех выполняются равенства
Обратно: если кривая удовлетворяет соотношени-
ям (1), то векторная линия поля (уравнения (2) называются уравнениями векторных линий поля ).
Действительно, равенства (2) (если в них подставить уравнениялинии ) выражают условия коллинеарности векторов и в одной и той же точке Значит, линия касается поля .
Пусть в пространстве задана некоторая поверхность и пусть в каждой точке этой поверхности существует нормаль. На этой нормали можно выбрать два единичных вектора: и
Определение 4.Если при движении точки по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не пересекающему её границы , единичный вектор непрерывно изменяется и возвращается в точку с первоначальным направлением, то говорят, что поверхность яв-
ляется двухсторонней. При этом сторона поверхности, определяемая вектором , называется внешней (или верхней) стороной поверхности (обозначение: ), а сторона поверхности, определяемая вектором называется внутренней (или нижней) стороной поверхности (обозначение: ). Векторы и называются ориентациями поверхности , а сама поверхность называется ориентируемой поверхностью.
Если же на поверхности найдётся хотя бы один замкнутый контур, при движении на котором единичный вектор возвращается в точку с противоположным направлением, то говорят, что поверхность является односторонней или неориентируемой
поверхностью.
Примером неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса, который получается из прямоугольной полоски склеванием ее боковых после однократного их перекручивания. Перейдем к понятию потока векторного поля. Пусть дана двухсторонняя поверхность и выбрана та её сторона, которая ориентирована единичной нормалью
Определение 4.Потоком векторного поля через поверхность с ориентацией называется поверхностный интеграл
(здесь скалярное произведение векторов и ).
Это определение потока не зависит от выбора системы координат. Если выбрана прямоугольная система координат, то
и поток можно записать в виде . Обозначив
перепишем предыдущее равенство в виде
В таком виде поток записан в форме поверхностного интеграла второго рода (по координатам). Все три формы записи потока встречаются в математической литературе. Мы будем пользоваться первой формой записи, указанной в определении 4.
Из свойств поверхностного интеграла первого рода вытекают аналогичные свойства потока как поверхностного интеграла второго рода (линейность, аддитивность и т.д). Единственным отличием этих свойствах является то, что интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности а интеграл второго рода (поток) зависит от выбора стороны поверхности: (это вытекает из определения 4). Дадим формулу вычисления потока.
Теорема 3. Пусть поверхность, задаваемая уравнением причем эта поверхность является гладкой, т.е. функции непрерывны в замкнутой ограниченной области Пусть, кроме того, векторное поле непрерывно на поверхности Тогда
где знак (+) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором а знак (–) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором
Доказательство.Пусть поверхность ориентирована вектором Учитывая, что раскроем в (3) скалярное произведение: По теореме 1 имеем
Теорема доказана.
Замечание 1.Если поверхность задана неявно уравнением (где функции непрерывны, причем в области в которой лежит поверхность ), то
При этом знак выбирается в соответствии с ориентацией поверхности .
Дадим гидромеханический смысл потока:если векторное поле скоростей жидкости, то равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность с ориентацией, определяемой нормалью
Пример 1 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты).Найти поток векторного поля через поверхность вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
Решение.Так как то нормаль к боковой поверхности (конуса) будет иметь вид Выбор нормали должен быть таким, чтобы Так как в нашем случае на поверхности , то надо взять знак (+). Таким образом, нормаль будет такой: Здесь мы учли, что на поверхности выполняется равенство . Далее имеем
Область является проекцией поверхности на плоскость т.е. является кругом радиуса поэтому
3. Дивергенция, её физический смысл и свойства. Формула Остроградского-Гаусса
Пусть векторное поле таково, что существуют частные производные в точке
Определение 5.Дивергенцией поля в точке назывется скалярная величина Если то точка называется источником, а если то называется стоком.
Это определение дивергенции дано в декартовой системе координат. Инвариантное определение будет дано позже. Дивергенция обладает следующими свойствами:
1 (Линейность).
2. Если дифференцируемое в точке скалярное поле, а дифференцируемое в той же точке векторное поле, то в указанной точке имеет место равенство
.
Доказательства этих свойств очевидны и мы рекомендуем провести их самостоятельно. Приводимая ниже формула Остроградского-Гаусса позволяет свести поверхностный интеграл второго рода (поток) к тройному интегралу. Введём сначала следующее понятие.
Определение 6.Говорят, что областьодносвязна, если любой замкнутый контур можно стянуть в точку, не выходя за пределы области
Например, шар – односвязная область, а шаровое кольцо – нет.
Теорема Остроградского-Гаусса.Пусть замкнутая ограниченная односвязная область и её граница ( в этом случае замкнутая поверхность). Пусть, кроме того, векторное поле непрерывно дифференцируемо в а граница кусочно гладка. Тогда имеет место равенство
Доказательствопроведем для случая, когда тело можно одновременно представить в следующих видах
где замкнутые ограниченные квадрируемые области, а все участвующие здесь функции непрерывны в областях соответственно. Введем векторные поля Тогда исходное векторное поле запишется в виде и значит,
Подсчитаем каждый из этих потоков. Начнем с потока
Нормаль на поверхности имеет вид так как угол острый,
так как угол тупой.
Следовательно,
Точно так же находим, что
поэтому
Теорема доказана.
Пример 2 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты).Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).
Решение.Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:
Так как то
Тело ограничено сверху поверхностью эллиптического параболоида, а снизу – поверхностью конуса. Пересечение этих поверхностей находится из системы уравнений
т.е. пересечение является окружностью радиуса 2. Перейдем к цилиндрической системе координат: Будем иметь
Лекции 7-8. Инвариантное определение дивергенции и её физический смысл. Соленоидальное поле. Ориентируемые кривые. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Циркуляция векторного поля. Ротор. Формулы Грина и Стокса. Потенциальное поле и его свойства
Данное нами на предыдущей лекции определение дивергенции зависело от системы координат. Перейдем к описанию инвариантного определения дивергенции.
1. Инвариантное определение дивергенции и её физический смысл
Пусть векторное поле задано в области и пусть фиксированная точка этой области.
Окружим точку произвольной замкнутой поверхностью а тело с границей Пусть объём тела
Определение 1. Если существует конечный предел
когда поверхность стягивается в точку и этот предел не зависит от выбора поверхности то его называют дивергенцией поля в точке
Нетрудно показать, что это инвариантное определение дивергенции совпадает с ранее данным её определением, если поле дано в декартовой системе координат. Действительно, по теореме Остроградского-Гаусса имеем
Здесь мы воспользовались теоремой о среднем и тем фактом, что при точка Таким образом, инвариантное определение дивергенции совпадает с ранее данным её определением в декартовой системе координат.
Инвариантное определение дивергенции позволяет выяснить ее физический смысл. Пусть поле скоростей движующейся жидкости. Будем считать, что в области нет стоков. Тогда величина есть количество жидкости, отнесённое к объёму (средняя плотность мощности источников в ), а предел этой величины при (т.е. ) есть плотность мощности источников, находящихся в точке