Теплообмен излучением системы тел в прозрачной среде

Законы лучистого теплообмена

Из курса физики известно, что спек­тральная плотность потока излучения абсолютно черного тела I_0λ = dEo/dλ (в дальнейшем все характе­ристики абсолютно черного тела будем записывать с индексом «нуль»), характе­ризующая интенсивность излучения на данной длине волны λ_i, имеет максимум при определенной длине волны λ_м. Вели­чина λ_м (мкм) связана с абсолютной тем­пературой Т тела законом Вина:

λ_м = 2,898/(10³ Т). (12.4)

Из выражения (12.4) следует, что с ростом температуры максимум излуче­ния смещается в сторону коротких волн. Так, в излучении с поверхности Солнца (T ≈ 5800 К.) максимум приходится на видимую часть спектра (λ_м≈0,5 мкм), а в излучении электронагревателя (T ≈ 1100 К) λ_м = 3 мкм, причем в послед­нем случае энергия видимого (светово­го) излучения ничтожна в сравнении с энергией теплового (инфракрасного). Поверхностная плотность потока ин­тегрального излучения абсолютно черно­го тела в зависимости от его температу­ры описывается законом Стефана – Больцмана:

E_o=σ_oT⁴. (12.5)

Здесь σ_o = 5,67 · 10^–8 Вт/(м² · К⁴) –по­стоянная Стефана–Больцмана. Для технических расчетов закон Стефана– Больцмана обычно записывают в виде

E_o = С₀(T/100)⁴, (12.6)

где С_о = σ_о · 10⁸ = 5,67 Вт/(м² · К⁴) назы­вается коэффициентом излуче­ния абсолютно черного тела.

Тела, с которыми мы имеем дело на практике, излучают меньше тепловой энергии, чем абсолютно черное тело при той же температуре.

Отношение поверхностной плотности потока собственного интегрального излу­чения Е данного тела к поверхностной плотности потока интегрального излуче­ния E_о абсолютно черного тела при той же температуре называется степенью черноты этого тела:

е = E/E₀. (12.7)

Степень черноты ε меняется для различ­ных тел от нуля до единицы в зависимо­сти от материала, состояния поверхности и температуры. Используя понятие степе­ни черноты, можно записать закон Сте­фана–Больцмана для реального тела:

E = εE₀ = εС₀ (Т/100)⁴ = С (Т/100)⁴. (12.8)

Здесь С = ε · Со – коэффициент излучения реального тела, Вт/(м² · К⁴).

Согласно закону Кирхгофа степень черноты любого тела в состоянии термо­динамического равновесия численно рав­на его коэффициенту поглощения при той же температуре, т. е. ε = A. В со­ответствии с этим законом отношение энергии излучения к коэффициенту по­глощения (Е/А) не зависит от природы тела и равно энергии излучения E₀ абсолютно черного тела при той же темпера­туре. Чем больше коэффициент поглоще­ния, тем больше и энергия излучения этого тела при заданной температуре. Если тело мало излучает, то оно мало и поглощает. Абсолютно белое тело не способно ни излучать, ни поглощать энергию.

Рассмотрим теплообмен между дву­мя единичными (например, по 1 м²) по­верхностями, обращенными друг к другу с небольшим зазором (рисунок 12.2), причем Т₁>Т₂– В этой системе Е₁ – энергия со­бственного излучения первого тела на второе, E₂ – второго на первое. Ввиду малого расстояния между ними практи­чески все излучение каждой из рассмат­риваемых поверхностей попадает на про­тивоположную. Воспользуемся понятием эффективного излучения E_эф, представ­ленного выражением (12.3). Для непро­зрачного тела (D=0 и R=1–А) вы­ражение (12.3) запишется в виде E_Эф= E + E_пад(1– А).

Каждое из рассматриваемых тел имеет эффективное (полное) излучение, соответственно, E_эф1 и E_эф2– Для первого тела E_эф2 является падающим излучением, поэтому

E_эф1=E₁ = E_эф2(1–A₁). (12.9)

Рис. 12.2 – Схема лучистого теплообмена между двумя телами

 

Аналогично для второго тела

E_эф2 = E₂ = E_эф1(1–A₂). (12.10)

Плотность результирующего тепло­вого потока от первого тела на которое равна

q_1.2= E_эф1– E_эф2. (12.11)

Подставляя найденные из совместного решения уравнений (12.9) и (12.10) выражения E_эф1 и E_эф2 в (12.11), получаем:

. (12.12)

Заменим величины Е₁ и Е₂ по формуле (12.8). Тогда

. (12.13)

Будем считать, что степень черноты обеих поверхностей не меняется в диапа­зоне температур от Т₁ до T₂. Следова­тельно, по закону Кирхгофа A₁ = ε₁ и A₂ = ε₂– Заменяя А на ε и вынося ε₁ ε₂ С_о, получаем

. (12.14)

Величина

. (12.15)

называется приведенной сте­пенью черноты системы тел. С учетом ε_пр и выражения (12.14) форму­ла для полного теплового потока записы­вается в виде

, (12.16)

где F – площадь теплообменной поверх­ности, одинаковая в нашем случае для обоих тел.

Из (12.15) видно, что ε_пр меняет­ся от нуля до единицы, оставаясь всегда меньше и ε₁, и ε₂.

В соответствии с формулой (12.16) полный поток теплоты, передаваемый из­лучением от горячего тела более холод­ному, пропорционален поверхности тела, приведенной степени черноты и разности четвертых степеней абсолютных темпера­тур тел.

На практике часто одна теплообменная поверхность полностью охватывает­ся другой (рисунок 12.3). В отличие от теп­лообмена между близко расположенны­ми поверхностями с равными площадями здесь лишь часть излучения поверхности F₂ попадает на F₁ Остальная энергия воспринимается самой же поверхностью F₂ Тепловой поток, передаваемый излу­чением от внутреннего тела к внешнему, можно также определить по (12.16), если вместо F подставить поверхность мень­шего тела F₁, а степень черноты системы определить по формуле

. (12.17)

В случае теплообмена между произ­вольными телами каждое из них излуча­ет на другое лишь часть энергии, излуча­емой им по всем направлениям; осталь­ная энергия рассеивается в пространстве или попадает на другие тела. В этом случае в расчетную формулу (12.16) вво­дится поправочный коэффициент, называемый коэффициентом облученности тела φ_1.2 и учитыва­ющий долю излучения первого тела, ко­торая воспринимается вторым телом.

Рис. 12.3 – Схема лучистого теплообмена между телами в замкнутом пространстве

 

Таким образом, теплообмен между двумя произвольно расположенными те­лами может быть рассчитан по формуле:

. (12.18)

Коэффициент облученности называ­ют также угловым коэффициентом излучения. Это чисто геометрический фактор, зависящий только от формы, размеров тел и их взаимного расположе­ния. Различают коэффициент облученно­сти первым телом второго φ_1.2 и коэффи­циент облученности вторым телом перво­го φ_2,1. При этом φ_1.2F₁ = φ_2.1F₂. Коэффи­циент облученности определяется анали­тически или экспериментально. Для большинства частных случаев, имеющих место в технике, значения коэффициен­тов облученности или соответствующие формулы для их расчета приводятся в справочниках. Если все излучение одного тела попадает на другое, то φ_1,2 = 1. Применительно к (рисунок 12.3) φ_1.2 = 1, а φ_2,1 = F₁/F₂.

В приближенных расчетах лучистого теплообмена между двумя произвольно расположенными телами ε_пр допустимо рассчитывать по формуле ε_пр = ε₁ε₂. При ε₁ и ε₂ > 0,8 ошибка таких расчетов ме­няется от 0 до 20 % при изменении отно­шения F₁/F₂ от 1 до 0. Ошибка возраста­ет с уменьшением ε₁ или ε₂.