Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.
Лекция №7
Определение.
Пусть a(x) и b(x) – бесконечно малые при х®х0 (±¥)
1) a(x) ~ b(x) при х®х0 (±¥) если lim a(x)/b(x)=1 x®x0 (±¥)
2) a(x) и b(x) одинакового порядка при х®х0 (±¥) если lim a(x)/b(x)=с¹0 x®x0 (±¥)
3) a(x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем b(x) при х®х0 (±¥) если lim a(x)/b(x)=0 x®x0 (±¥)
Определение.
Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при х®х0 (±¥)
1) f(x) ~ g(x) при х®х0 (±¥) если lim f(x)/g(x)=1 x®x0 (±¥)
2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при х®х0 (±¥) если limf(x)/g(x)=с¹¥ x®x0 (±¥) <¥
В частности, если с=1, то они эквивалентны
3) f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при х®х0 (±¥) если lim f (x)/g (x)=0 x®x0 (±¥)
Примеры:
1) sin(x) – бесконечно малое
x при х®х0 – бесконечно малое
Сравним их lim sin(x)/x=1 Û sin(x)~x
x®0
при х®0
2) 1n(1+x) – бесконечно малое
х при х®0 – бесконечно малое
Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)1/x =1 Û
x®0 x®0