Бесконечно малые последовательности

Тема: Последовательности

Лекция №3

 

 

Последовательность а_n называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

a_n – бесконечно малая Û lim a_n=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

^n®+¥

|a_n|<ε

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)a_n=1/n Докажем, что для любого ε>0 |1/n|<ε Þ 1/n<εÞ n>1/εÞ N[1/ε]+1

Докажем, что lim1/n=0

^n®+¥

2) a_n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 |sin(1/n)|<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1³sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε

Следовательно 1/n<arcsinε Þ n>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

^n®+¥

3) a_n=ln(1+1/n)

n®0; 1/n®¥; 1+1/n®1

lim ln(1+1/n)=0

^n®+¥

Докажем |ln(1+1/n)|<εÞ ln(1+1/n)<ε Þ 1+1/n<e^ε

1/n<e^ε-1

n>1/e^ε-1Þ N=[1/e^ε-1]+1

 

 

5) a_n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

^n®+¥

Докажем "ε>0 |1-cos(1/n)|<ε

1/nÎ первой четверти cos первой четверти положительный 0<cos(1/n)<1Þ 1-cos(1/n)<ε

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)

1/n<arcos(1-ε)Þ n>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1