Теплопроводность многослойной стенки

Формулой (9.10) можно пользоваться и для расчета теплового потока через стенку, состоя­щую из нескольких плотно прилегающих друг к другу слоев разнородных материа­лов (рисунок 9.3), например кирпичную стенку здания, покрытую слоем штукатурки, краски и т. д. Термическое сопротивление такой стенки равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев:

. (9.11)

В формулу (9.10) нужно подставить разность температур в тех точках (поверхностях), между которыми«включены» все суммируемые термические сопротивления, т.е. в данном случае t_c1 и t_c1(n+1)

. (9.12)

Рис. 9.3 – Распределение температур по толщине многослойной плоской стенки

Формулу (9.12) легко получить, за­писав разность температур по формуле (9.9) для каждого из n слоев многослой­ной стенки и сложив все n выражений с учетом того, что во всех слоях Q имеет одно и то же значение. При сложении все промежуточные температуры сократятся.

Распределение температур в преде­лах каждого слоя – линейное, однако в различных слоях крутизна температур­ной зависимости различна, поскольку со­гласно формуле (9.6) (dt/dx)_i = – q/λ_i. Плотность теплового потока, проходяще­го через все слои, в стационарном режи­ме одинакова, а коэффициент теплопро­водности слоев различен, следовательно, более резко температура меняется в сло­ях с меньшей теплопроводностью. Так, в примере на рисунке 9.2 наименьшей тепло­проводностью обладает материал второ­го слоя, а наибольшей – третьего.

Рассчитав тепловой поток через мно­гослойную стенку, можно определить па­дение температуры в каждом слое по соотношению (9.10) и найти температу­ры на границах всех слоев. Это очень важно при использовании в качестве теплоизоляторов материалов с ограничен­ной допустимой температурой. Обобщен­ную формулу для расчета температуры t_с(k + 1) за любым слоем (i = k) можно по­лучить из выражения (9.12), подставив в него n = k:

. (9.13)

Контактное термическое сопротивле­ние. Идеально плотный контакт между отдельными слоями многослойной стенки получается, если один из слоев наносят на другой в жидком состоянии или в виде текучего раствора (цементного, гипсово­го и др.). Твердые тела касаются друг друга только вершинами профилей шеро­ховатостей. Площадь контакта вершин пренебрежимо мала, и весь тепловой по­ток идет через воздушный зазор. Это создает дополнительное (контактное) термическое сопротивление RK. Его мож­но приближенно оценить, если принять, что толщина зазора между соприкасаю­щимися телами б в среднем вдвое мень­ше максимального расстояния б_макс меж­ду впадинами шероховатостей. Так, при контакте двух пластин с шероховатостью поверхности 5 класса (после чистовой обточки, строгания, фрезерования) δ_макс≈ 0,03 мм и в воздухе комнатной температуры

R_К = δ/λ = 1,5–10^–5/(2,59* 10^–2) = 0,58·10^–3 м². К/Вт.

Это эквивалентно термическому сопро­тивлению слоя стали толщиной около 30 мм.

Для уменьшения контактного сопро­тивления необходимо заполнять зазоры каким–либо материалом с более высокой, чем у воздуха, теплопроводностью, на­пример спаять или хотя бы склеить по­верхности.

9.5 Теплопроводность цилиндрической стенки.

Очень часто теплоносители движутся по трубам

и требуется рассчитать тепловой поток, передаваемый через цилиндрическую стенку трубы. Задача о распространении теплоты в цилиндрической стенке при известных и постоянных температурах на внутренней и наружной поверхностях, также одномерная, если ее рассматри­вать в цилиндрических координатах. Температура изменяется только вдоль радиуса (по координате г), а по длине трубы и по ее периметру остается не­изменной. В этом случае gradt = dt/dr и закон Фурье будет иметь вид

q = – λ(dt/dr), (9.14)

или для трубы длиной l

Q = Fq = – 2πrlλ(dt/dr). (9.15)

Интегрировать удобно уравнение (9.15), так как тепловой поток не меняет­ся по толщине стенки, a q = Q/F ≠ const, поскольку площадь F = 2πrl, через кото­рую проходит тепловой поток, зависит от радиуса.

Разделим переменные:

dt = – Q/2πλl · dr/r. (9.16)

Интеграл уравнения

t = C – Q/2πλl · ln r (9.17)

показывает, что распределение темпера­туры по радиусу стенки подчиняется ло­гарифмическому закону (рисунок 9.4).

Рис. 9.4 – Изменение температуры по толщине однослойной цилиндрической стенки

У внутренней поверхности, где кривизна стенки больше, температура меняется резче, чем у наружной.

Интегрирование уравнения (9.16) в определенных пределах (по t от t_c1 до t_С2 и по r от r₁ до r₂) дает зависимость для расчета теплового потока через ци­линдрическую стенку:

. (9.18)

Для труб обычно измеряется и при­водится в условиях задач диаметр, а не радиус, поэтому отношение радиусов r₂/r₁ заменено отношением диаметров d₂/d₁.

Термическое сопротивление для ци­линдрической стенки имеет вид

, (9.19)

причем при d₂/d₁ ≈ 1 расчет должен про­водиться с высокой точностью, поскольку небольшая погрешность, допущенная при определении отношения d₂/d₁, в этом случае дает значительную ошибку при вычислении логарифма. Например, если значение d₂/d₁ = l,09 округлить до 1,1 (погрешность округления меньше 1%), погрешность вычисления логариф­ма, а следовательно, и теплового потока будет больше 10%. С другой стороны, оказывается, что при отношении d₂/d₁ ≤ 1,5 погрешность определения термиче­ского сопротивления цилиндрической стенки по формуле R_λ = δ/(λF), справед­ливой для плоской стенки [поверхность трубы считается по среднеарифметиче­скому диаметру d = 0,5 (d₁ +d₂)], дает ошибку меньше 1,5 %. Более высокая точность в практических расчетах требу­ется редко.

Для определения теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку следует, как и для многослойной плоской стенки, просуммировать терми­ческие сопротивления отдельных слоев:

, (9.20)

(9.20) от (9.12) заключается только в способе расчета термических сопротивлений отдельных слоев для плоской и цилиндрической сте­нок. Но и это различие существенно только при больших отношениях наруж­ного и внутреннего диаметров каждого слоя d_H/d_BH = d_(i+1)/di > 1,5. При мень­ших отношениях d_H/d_BH термические со­противления отдельных слоев, как уже было показано, целесообразнее считать по упрощенной формуле R_λi = δ_i/(λ_iF_i) справедливой для плоской стенки.

Расчет температур на границах слоев в данном случае осуществляется так же, как для многослойной плоской стенки, т.е. по формуле (9.13).