Вычисление площадей плоских фигур

Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.Если фигура задана неравенствами где функции непрерывны на отрезке то площадь этой фигуры вычисляется по

формуле Если фигура ограничена линиями причем функция знакопеременна и непрерывна на отрезке то её площадь равна

Действительно, фигуру можно перенести параллельно оси вверх и тогда она будет сверху и снизу ограничена линиями

Поэтому

Переходя к вычислению площади в полярных координатах, напомним, что любая точка

на плоскости вполне однозначно определяется своим полярным радиусом

и полярным углом (считаем, что началу координат соответствует радиус и любой фиксированный полярный угол ). Поэтому любую кривую на плоскости можно задать уравнением Переход от декартовых координат точки к полярным осуществляется по формулам

 

Теорема 2.Пусть фигура задана в полярных координатах неравенствами причем функция непрерывна на отрезке Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле Если фигура описывается неравенствами

причем функции непрерывны на отрезке то её площадь вычисляется по формуле

Площади фигур с замкнутой границей удобно вычислять, если граница задана в параметрической форме.

Теорема 3.Пусть фигура имеет границу заданную параметрически уравнениями

причем при возрастании параметра от к обход границы совершается так, что сама область остается слева от наблюдателя. Если при этом функции непрерывны на отрезке, то площадь этой фигуры вычисляется по формуле (здесь начало обхода, конец обхода границы ).

3. Вычисление длины дуги

 

Пусть на плоскости задана некоторая незамкнутая кривая (см. рис. Р16). Произведем разбиение

 

этой дуги на частичные дуги в каждую из которых впишем хорду . Тогда получим ломанную , вписанную в дугу . Пусть длина хорды

Определение 3.За длину дуги кривой принимают предел, к которому стремится периметр ломанной, вписанной в эту дугу, при стремлении длины максимального звена этой ломанной к нулю, т. е. Если кривая замкнутая, то разбивают ее двумя несовпадающими точками на две незамкнутые кривые и и тогда

дл. дл. дл.

Теорема 4. Если дуга задана уравнением где функция непрерывно дифференцируема на отрезке то ее длина вычисляется по формуле

Доказательство. Произведем разбиение отрезка на частичные отрезки Это разбиение порождает разбиение дуги частичные дуги По определению 3 имеем Длина хорды равна (см. рис. Р17) величине

 

По теореме Лагранжа существует точка такая, что

 

поэтому Учитывая это, получаем, что

 

Теорема доказана.

Замечание 2.Величина называется дифференциалом дуги Учитывая, что её можно записать в виде Мы получили теорему Пифагора для криволинейного треугольника с катетами и “гипотенузой” Теперь формулу (1) для вычисления длины дуги можно записать кратко так: Эта форма записи длины дуги особенно удобна, если дуга задана параметрически или в полярной форме. Из нее можно получить следующие утверждения.

Теорема 5. Если дуга задана параметрически уравнениями где функции непрерывно дифференцируемы на отрезке то ее длина вычисляется по формуле

Если дуга задана в полярных координатах уравнением где функция непрерывно дифференцируема на отрезке то её длина вычисляется по формуле

Действительно, если задана в параметрической форме, то

 

Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатах самостоятельно.

Например, если дуга задана уравнением то её длина равна

 

4. Вычисление объёмов тел

 

С помощью определенного интеграла можно вычислять и объёмы тел. Дадим соответствующие формулы.

Теорема 6.Пусть тело заключено между плоскостями и а площадь его поперечного сечения плоскостью Если функция непрерывна на отрезке то объём тела вычисляется по формуле

Замечание 3.Если тело получено вращением криволинейной трапеции

 

вокруг оси , то объём этого тела вычисляется по формуле

 

Действительно, в этом случае поперечное сечение является кругом радиуса поэтому Аналогично вычисляется объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (конечно, в выписанных формулах для предполагается, что функции и непрерывны на соответствующих отрезках).

 

 


[1] Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.

[2] На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и