Тени пересекающихся многогранников

Тени пересекающихся многогранниковпредставлены на рис. 10 при направлении вертикальной проекции лучей света под углом а, а горизонтальной — под углом β кОх.

На фигуре треугольная пирамида пересекается стреугольной призмой так, что имеется треугольник входа и треугольник выхода пирамиды. Для нахождения вершин этих треугольников построены вспомогательные плоскости через прямую SM_l,проведенную из вер­шины пирамиды параллельно ребрам призмы и через соответствую­щие ребра пирамиды. Следы вспомогательных плоскостей на Нпро­ходят через точку т₁и через вершины основания пирамиды.

Эти плоскости рассекают грани призмы по прямым, параллельным ребрам и выходящим из точек пересечения сторон основания призмы следами вспомогательных секущих плоскостей.

 

Точки встречи ребер пирамиды с этими прямыми и дают вершины треугольников входа и выхода пирамиды.

Построение теней может быть произведенов следующем последовательном порядке:

1) Находят точку M_s— тень на Нот вершины пирамиды, как
горизонтальный след луча, проведенного через S.Касательные, про­
веденные из M_sк основанию пирамиды, очерчивают контур тени,
падающий от пирамиды на Н. Так как точка M_sоказалась выше оси
проекций, то это показывает, что фактически тень от S упадет не
на Н(во II четверть), а на V.Тень от пирамиды, идущая от основа­ния по Н, переломится на Охи пойдет в точку N_s,которую нахо­дим как вертикальный след луча из S.

Тень на Hпоказывает, что в собственной тени будет лишь одна невидимая на плане грань пи­рамиды, так как к теневому контуру примыкает лишь основание одной грани (это основание замыкает контур тенипирамиды, падаю­щей на H). Если бы тень от вершины, падающая на плоскость осно­вания, именно точка M_s,оказалась правее, ток теневому контуру примыкали бы две стороны основания пирамиды (задняя и правая) и тогда, очевидно, в тени оказались бы две боковые грани пирамиды (задняя и правая).

2) Строят тень на Нот призмы, для чего достаточно построить
тень от любой точки одного из ребер, например от точки γγ' правого ребра. Тень на Нот этой точки, как видно, упала в точку Мγ,и, следовательно, тень от правого ребра на плоскость Нпойдет в точку Мγиз горизонтального следа этого ребра (от его основания). Как видно, точка Мγтакже оказалась выше Ох,т. е. во IIчетверти простран­ства, и, следовательно, тень от ребра фактически переломится на оси Охи пойдет в точку Nγ, являющуюся вертикальным следом луча из γ γ'.

 

 

Так как ребра призмы между собою параллельны, то тени остальных двух ребер пойдут в виде линий, параллельных линии построенной тени правого ребра. Замечаем, что к теневому контуру на Нпримыкают задняя и правая стороны треугольника основания призмы. Это говорит о том, что неосвещенными будут задняя и пра­вая грани призмы, причем правая теневая грань на Н и на Vвидима, и она от себя будет отбрасывать тень на освещенные грани пирамиды.

3) После этого строят тени, падающие от пирамиды на призму и от призмы на пирамиду. Поскольку вершина пирамиды ближе к источнику света, а освещенная грань призмы расположена сзади по направлению луча из S, на эту грань должна упасть тень от S. Это подтверждается еще и тем, что тень от S на Н, именно точка M_s,оказалась внутри теневого контура на Н тени призмы. Для отыска­ния точки kk'— тени от S на грань призмы — можно поступить, двояко, а именно: воспользоваться методом сечений или методом обратного луча. При первом методе через луч из S проводят, напри­мер, горизонтально проектирующую плоскость Ри, найдя линию MN сечения ее с гранью призмы, отмечают сначала k'на пересечении вертикальной проекции луча с вертикальной проекцией т'п' линии сечения, а затем на вертикали находят и k.

При методе обратного луча поступают так: из M_s проводят вспомогательную линию Msω,параллельную направлению тени на Hот ребер призмы; тогда эту линию можно принять, очевидно, за тень, падающую на Нот линии, идущей из ω по грани призмы параллельно ее ребрам; проводят на Hтакую линию из ω параллельно проекциям ребер призмы, отмечают точку k пересечения ее с горизонтальной проекцией луча из S и по горизонтальной проекции точки Кнаходят ее вертикальную проек­цию k'. Если теперь из kk' провести прямые, касательные к

 

 

треугольнику выхода пирамиды из призмы, то и получится контур тени, падающей от пирамиды на призму.

Рис. 10

Наконец, чтобы построить тень, падающую от правой теневой грани призмы на освещенные грани пирамиды, в данном случае выгодно воспользоваться методом обратных лучей. Так как тень на пирамиду будет падать, очевидно, от переднего (ближайшего к источ­нику света) ребра призмы, то находят точки r, tи ипересечения тени ребра призмы с тенями ребер пирамиды и из этих точек про­водят либо горизонтальные проекции обратных лучей до встречи с проекциями ребер пирамиды, либо же (если засечки при этом получаются под очень острым углом — неточными) точки r, tи ипереносят сначала на ось Охв точки r', t'и и'и уже из них про­водят вертикальные проекции лучей до встречи с вертикальными проекциями ребер пирамиды.