Три метода построения теней

Независимо от того, парал­лельны лучи света или выходят из одной точки, можно указать сле­дующие три метода построения теней.

1) Метод секущих плоскостей является общепринятым и состоит в том, что оба тела Аи В(рис.4) рассекаются плоско­стями, параллельными лучу света (при солнечном освещении) или проходящими через светящуюся точку.

Предположим, что плоскость L_ltпараллельная направлению свето­вого луча Р, рассекает тело Апо кривой L'_a,а тело В— по кри­вой L'_b. Тогда, проводя лучи, касательные в точках К1 — К1к кривой сечения L'_a, и пересекая их в точках 1—1 с линией сечения L'_b,получаем две точки контура S_Aсобственной тени тела А(точки К1— К1) и две точки контура

 

S_ab тени, падающей от А на В(точки 1—1).

Проводя новую лучевую плоскость L2, мы получаем подобным же образом точки К2— К2на контуре тела Аи точки 2—2на контуре тени, падающей на Вот А*. (*Сечение тела Аплоскостью L2 на рис.4 показано совпадающим с очерком чела А).

Рис. 4

Рис. 5

Очевидно, что чем больше плоскостей типа Lмы проведем, тем большее количество точек типа К—Ки 1—1 мы получим и тем точнее отыщем контуры теней — собствен­ной и падающей. Точки F₁ и F₂на контуре падающей тени назы­ваются точками исчезновения тени, падающей от А,в соб­ственной тени тела В.

 

Эти точки можно отыскать вторым методом, описываемым ниже.

Что же касается контура собственной тени на В, именно линии S_B, то она определяется по точкам К°₁ ,К°₂, К°₃ и т. д., которые, как видно, являются точками касания лучей к линиям L¹_b, L²_bи т. д., сечения тела Втеми же плоскостями L1, L2и т. д. Крайние точки К₂ — К₂на контуре собственной тени тела Аи K°₃ — K°₃на контуре собственной тени тела Внаходятся как точки касания к очеркам тел лучей света.

2) Метод обратных лучей заключается в том, что для отыскания контуров собственных теней тел Аи В иконтура тени, падающей от Ана В, пользуются тенями, падающими от Аи Вна какую-либо плоскость. Чаще всего тени на какую-либо плоскость от обоих тел приходится строить по заданию, но метод этот в ряде случаев выгоден даже и в том случае, если тени, падающие на плоскость, приходится строить как вспомогательные. В таком случае эту плоскость (экран) стремятся подобрать так, чтобы контуры падаю­щих на нее теней строились легко.

Сущность метода можно усмотреть из рис. 5. Сначала строят контуры s_aи s_bтеней, падающих от тел Аи В, например, на пло­скость Н. Подробности построения показаны для контура s_b. Посту­пают так: 1) от ряда характерных образующих О₁, О₂, О₃,... тела В строят падающие на Нтени о1, о₂, о₃,...; 2) эти тени заключают в общую огибающую (обертывающую) их кривую s_b,которая и будет контуром тени, падающей от Вна Н; 3) из точек k₁ — k_1, k₂ — k₂, k₃ — k₃, …соприкосновения огибающей с кривыми о1, о₂, о₃,...проводят обратные лучи до пересечения в точках К1 — К1, К2 – К2, К3 – К3,… с образующими О1, О₂, О₃ на теле В; если точки типа К соединить в последовательном порядке, то и получится контур S_Bсобственной тени тела В. Этот контур, равно как и контур s_bна Н,должны касаться в точках Т—Ти t — t крайних лучей касательных к очерку тела В.

 

Подобным же образом строится контур s_aтени, падающей на Н от тела А,и контур S_Aсобственной тени тела А.

После этого уже приступают к построению контура тени, падаю­щей от тела Ана тело В. Для этого прежде всего отмечают точки f1 и f₂ пересечения на Hконтуров s_aи s_bтеней тел Аи Ви эти точки переносят обратными лучами на контур S_Bсобственной тени тела В.Это будут точки исчезновения на теле Втени тела А в собственной тени тела В(см. также точки F₁ и F₂на рис. 4).

Нетрудно видеть, что обратные лучи f₁F₁и f₂F₂представляют не что иное, как образующие, по которым пересекаются лучевой цилиндр, обертывающий тело В,с лучевым цилиндром, обертываю­щим тело А,так как s_bи s_aявляются базами этих цилиндров на плоскости Н(следы или основания их на Н). Затем отмечают точки типа рпересечения контура s_aс тенями отдельных образующих тела Ви переносят их обратными лучами на соответствующие образующие тела В(см., например, точки Р).

Очевидно, обратный луч Рресть не что иное, как образующая, по которой лучевой цилиндр, оберты­вающий тело А,пересекается с лучевым цилиндром, построенным на образующей О₂ тела В.

Наконец, отмечают точки пересечения на Нлиний, являющихся тенями от образующих тела А, с линиями теней от образующих тела В(на рис.5 не показано) и переносят точки пересечения обрат­ными лучами также на соответствующие образующие тела В.Полу­ченные на теле Вточки (концы обратных лучей) соединяют в после­довательном порядке и получают искомый контур тени, падающей от тела Ана тело В.

Очевидно, что если бы контур тени тела А на плоскости Нлежал вне контура тени тела В,то тень от тела Авовсе не падала бы на тело В.

При первом методе это обнаружилось бы в том, что лучи,

 

касательные кривой сеченияL'_aна теле Ав плоскости L₁(рис.5) не пересекали бы линии L'_bсечения той же плоскостью L₁тела В.

Итак, если падающие на один и тот же экран тени тел А и В взаимно пересекаются, то от одного тела на другое будет падать тень, а если эти тени не пересекаются, то теней, падаю­щих от одного тела на другое, не будет.

Рис. 6

3) Метод описанных поверхностей применяется при построении контуров собственных теней тел вращения с криволи­нейной образующей (рис.6). Сущность этого метода сводится к тому, что вокруг данной поверхности описывают конусы и цилиндры, касающиеся ее по окружностям. Построив на описанных конусах и цилиндрах контуры собственной тени, находят точки К_1, К_2,, К₃ , К₄пересечения этих контуров с окружностями касания. В то время как цилиндр, соприкасающийся с поверхностью по экватору, будет един­ственным описанным цилиндром, описанных конусов надо взять несколько (часть их будет иметь вершины вверху, часть же — внизу), с тем чтобы точек типа Кбыло достаточно для нанесения всего контура собственной тени путем соединения их плавной кривой.

После этого строят контур падающей тени путем построения падающих теней от точек типа К. На рис. 6 показано построение тенейM_K, и

 

М_К,падающих на Нот точек К₁и К₂,путем пересе­чения с Нлучей света, проведенных через точки К1и К2.

На практике при построении теней в сложных комбинациях приходится пользоваться не одним каким-либо из описанных трех методов, а сочетанием их.

Рис. 7