Теорема существования и единственности

Лекция 3

Известно, какую большую роль в алгебре играют теоремы, отвечающие на вопрос о том, сколько решений имеет та или другая система алгебраических уравнений. Такова, например, основная теорема алгебры, утверждающая, что многочлен n-й степени всегда имеет ровно n корней (считая с их кратностями). Точно так же в теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и потому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности.

Теорема. Пусть

(1)

— дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция задана на некотором открытом множестве плоскости переменных . Относительно функции будем предполагать, что она сама и ее частная производная являются непрерывными функциями на всем открытом множестве . Теорема утверждает, что:

1) для всякой точки множества найдется решение уравнения (1), удовлетворяющее условию

; (2)

2) если два решения и уравнения (1) совпадают хотя бы для одного значения , т.е. если , то решения эти тождественно равны для всех тех значений переменной , для которых они оба определены.

Числа называются начальными значениями для решения , а соотношение (2) — начальным условием для этого решения. Говорят также, что решение удовлетворяет начальному условию(2) или же что оно имеет начальные значения . Утверждение, что решение удовлетворяет начальному условию (2) (или имеет начальные значения ), предполагает, что интервал определения решения содержит точку .

Таким образом, теорема утверждает, что координаты любой точки множества являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (1) и что два решения с общими начальными значениями совпадают.

Геометрическое содержание теоремы заключается в том, что через каждую точку множества проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1).

Говоря, что через каждую точку множества проходит «только одна» интегральная кривая, мы допускаем некоторую неточность. В самом деле, решением уравнения (1) называется функция , заданная на вполне определенном интервале . Наряду с этой функцией может существовать функция , также удовлетворяющая уравнению (1) и имеющая те же начальные значения , но заданная на другом интервале . Вторая часть теоремы утверждает лишь, что функции и совпадают там, где они обе определены, но вовсе не утверждает, что интервалы их определения и одинаковы.

Если один из интервалов, например , полностью содержит другой, то мы будем говорить, что решение , заданное на интервале , является продолжением решения . Естественно сосредоточить все внимание на тех решениях, которые нельзя продолжить ни вправо, ни влево. Такие решения мы будем называть непродолжаемыми. Можно доказать, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого и притом единственным способом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение о том, что через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, становится точным.

Каждое решение уравнения (1) мы интерпретировали геометрически в виде графика функции . Дадим теперь геометрическую интерпретацию самого уравнения (1). Через каждую точку множества проведем прямую с угловым коэффициентом . Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (1), что и дает геометрическую интерпретацию этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решений заключается в том, что любая интегральная кривая в каждой своей точке касается прямой .

Пример. Для того, чтобы проиллюстрировать значение теоремы (в данном случае — второй ее части), решим дифференциальное уравнение

, (3)

где — действительное число. Здесь , так что функция в действительности зависит лишь от переменной . Множество точек, на котором определена функция , в данном случае совпадает со всей плоскостью . Как сама функция , так и ее частная производная являются непрерывными функциями переменных во всей плоскости . Таким образом, теорема к уравнению (3) применима. Непосредственной подстановкой в уравнение (3) проверяется, что каждая функция

, (4)

где — произвольное действительное число, является решением уравнения (3). Решение это непродолжаемо, так как оно задано уже на всей прямой . Покажем, что, придавая всевозможные значения числу , мы получим все решения уравнения (3). Пусть — произвольное решение этого уравнения. Покажем, что при надлежащем выборе числа мы имеем . Пусть — некоторая точка интервала существования решения и . Положим . Тогда решения и уравнения (3) имеют одинаковые начальные значения и потому в силу второй части теоремы совпадают. Таким образом, формула (4) исчерпывает совокупность всех решений дифференциального уравнения (3).

Доказательство теоремы проводится методом последовательных приближений (или же, другими словами, методом сжимающих отображений).

Основные идеи доказательства. Первым шагом при доказательстве теоремы методом последовательных приближений является переход от дифференциального уравнения к интегральному, который мы сформулируем в виде отдельного предложения.

А) Пусть — произвольное решение уравнения (1), определенное на интервале , так что выполнено тождество

, (5)

и пусть

(6)

— некоторое начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что тогда для функции на всем интервале выполнено интегральное тождество

. (7)

Обратно, если для некоторой непрерывной функции на интервале выполнено тождество (7), то функция дифференцируема, является решением уравнения (1) и удовлетворяет начальному условию (6). Кратко говоря, интегральное уравнение (7) эквивалентно дифференциальному уравнению (5) вместе с начальным условием (6).

Докажем это. Допустим сначала, что выполнено соотношение (7). Заменяя в нем переменную ее значением , получаем: . Таким образом, из (7) вытекает (6). Далее, правая часть тождества (7) очевидно дифференцируема по , а потому левая его часть также дифференцируема по . В результате дифференцирования тождества (7), получаем тождество (5).

Допустим теперь, что выполнены соотношения (5) и (6). Интегрируя соотношение (5) в пределах от до , получаем: . В силу соотношения (6) из последнего равенства получаем (7). Таким образом, предложение А) доказано.

Введем теперь некоторые обозначения, используемые далее при доказательстве теоремы.

Б) Пусть — такая непрерывная функция, определенная на некотором отрезке , что ее график целиком расположен в открытом множестве , и — некоторая точка отрезка . Тогда, пользуясь правой частью тождества (7), можно функции поставить в соответствие функцию , определенную также на отрезке , при помощи равенства

(8)

(график функции , конечно, уже может не проходить в множестве ). Таким образом, правую часть тождества (7) можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции функцию . Обозначая этот оператор одной буквой , мы запишем соотношение (8) в виде формулы

. (9)

Пользуясь оператором , интегральное уравнение (7) можно записать в виде

. (10)

В) Пусть — некоторая непрерывная функция, определенная на отрезке . Нормой этой функции называется максимум ее модуля: . Если и — две непрерывные функции, заданные на отрезке , то норма их разности является неотрицательным числом, оценивающим, насколько сильно отличаются эти функции друг от друга. Если число мало, то функции и близки друг к другу. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функции и тождественно совпадают. Пользуясь понятием нормы, можно сформулировать известное вам из курса матанализа условие равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пусть

(11)

— последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке . Последовательность (11) равномерно сходится к функции , определенной на том же отрезке , если . Для того, чтобы последовательность (11) равномерно сходилась, достаточно, чтобы имели место равенства , где числа образуют сходящийся ряд.

Прежде чем перейти к детальному проведению доказательства теоремы, изложим кратко суть метода последовательных приближений, применяемого для решения уравнения (10). Строится последовательность

(12)

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности (12) определяется через предыдущую при помощи равенства

(13)

Если график функции проходит в множестве , то функция равенством (13) определяется, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график функции проходил в множестве . Этого, как мы покажем, удается достичь, выбрав отрезок достаточно коротким. Далее, также за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности (12) выполнялись неравенства

(14)

где . Из неравенств (14) следуют неравенства

,

и, таким образом, последовательность (12) равномерно сходится (см. предположение В)). Далее уже легко устанавливается, что предел последовательности (12) удовлетворяет уравнению (10).

Ту же конструкцию можно описать несколько иным способом — в форме метода сжимающих отображений. Выберем некоторое семейство функций, заданных на отрезке (причем ), так, чтобы графики этих функций проходили в множестве . Допустим еще, что в отношении оператора семейство удовлетворяет следующим двум условиям: 1) применяя оператор к любой функции семейства , мы вновь получаем функцию семейства ; 2) существует такое число , , что для двух произвольных функций и семейства выполнено неравенство . В этом смысле отображение является сжимающим.

Легко видеть, что если для семейства выполнены сформулированные условия, то, исходя из произвольной его функции , мы по индуктивной формуле (13) получим бесконечную последовательность (12), удовлетворяющую условию (14), и, как мы отмечали ранее, равномерно сходящуюся к решению уравнения (10).

Теперь перейдем к доказательству теоремы на основе изложенных соображений.

Доказательство теоремы существования и единственности. Начальные значения и искомого решения уравнения (1) являются координатами точки , лежащей в множестве .Выберем прежде всего какой-либо прямоугольник с центром в точке со сторонами, параллельными осям, целиком вместе со своей границей содержащийся в множестве . Длину горизонтальной (параллельной оси ) стороны прямоугольника обозначим через , а длину вертикальной стороны — через . Таким образом, точка тогда и только тогда принадлежит прямоугольнику , когда выполнены неравенства

. (15)

Так как прямоугольник есть замкнутое множество, содержащееся в , то непрерывные на нем функции и ограничены, и потому существуют такие положительные числа и , что для и , удовлетворяющих условиям (15), выполнены неравенства

. (16)

Наряду с прямоугольником будем рассматривать более «узкий» прямоугольник , определяемый неравенствами , где

(17)

. Более точно число определим далее. Обозначим через семейство всех непрерывных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в прямоугольнике . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству , когда для любого , принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

. (18)

Постараемся теперь выбрать число таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия:

а) Если функция принадлежит семейству , то функция (см. (8), (9)) также принадлежит семейству .

б) Существует такое число , что для любых двух функций и семейства имеет место неравенство

. (19)

Рассмотрим условие а). Для того, чтобы функция принадлежала семейству , необходимо и достаточно, чтобы при было выполнено неравенство . В силу (8) и (16) мы имеем . Из этого видно, что при

(20)

условие а) выполнено.

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

Вычитая второе равенство из первого, получаем

. (21)

Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь формулой Лагранжа и вторым из неравенств (16):

; (22)

здесь — число, заключенное между и и, следовательно, удовлетворяющее неравенству . Из (21) и (22) следует:

.

Таким образом, условие б) выполнено, если число меньше единицы, т.е.

. (23)

Итак, если число удовлетворяет неравенствам (17), (20) и (23), то для семейства выполнены условия а) и б). В дальнейшем будем считать число выбранным таким образом, что неравенства (17), (20) и (23) для него выполнены.

Построим теперь последовательность

(24)

функций, определенных на отрезке , положив:

, (25)

(26)

Так как функция (25) принадлежит семейству , то и все функции последовательности (24) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее мы имеем (см. (18)): . В силу (19) получаем , откуда . Таким образом, в силу В), последовательность (24) равномерно сходится на отрезке к некоторой непрерывной функции . Так как все функции последовательности (24) принадлежат семейству , то и функция принадлежит ему (см. (18)). Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (10). Для этого заметим, что последовательность равномерно сходится к функции ; действительно, мы имеем . Переходя в соотношении (26) к пределу при , получаем .

Итак, существование решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (6), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам (17), (20) и (23).

Перейдем теперь к доказательству единственности.Пусть и — два решения уравнения (1) с общими начальными значениями и — интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений и ; очевидно, что . Покажем, что если решения и совпадают в некоторой точке интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где — достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины могут быть приняты за начальные значения обоих решений и . В этом смысле точка ничем не отличается от точки , и поэтому мы сохраним за точкой обозначение : это позволит нам сохранить и другие прежние обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (1) к интегральному уравнению (7), мы получаем для обеих функций и интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде

. (27)

Выберем теперь, как и прежде, в открытом множестве прямоугольник с центром в точке , а затем прямоугольник таким образом, чтобы число кроме неравенств (17), (20), (23) удовлетворяло еще и тому условию, что при функции и определены и удовлетворяют неравенствам . Это возможно, так как функции и непрерывны. Тогда функции и , рассматриваемые на отрезке , входят в семейство , и, следовательно, в силу неравенства (19) и соотношений (27) получаем , а это возможно только тогда, когда , т. е. когда функции и совпадают на отрезке .

Докажем теперь, что функции и совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, а именно, что существует точка интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что .

Обозначим через множество всех тех точек отрезка , для которых , и докажем, что множество замкнуто. В самом деле, пусть — последовательность точек множества , сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций и ,

,

т.е. точка также принадлежит множеству .

Обозначим через точную верхнюю грань множества . Так как замкнуто, то принадлежит этому множеству, т.е. ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции и должны совпадать на некотором интервале , и точка не может быть точной верхней гранью множества . Таким образом, мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Пример. Для весьма простого уравнения найдем решение методом последовательных приближений. Решение будем искать с начальными значениями .

Соответствующее интегральное уравнение запишется в виде

.

Будем строить теперь последовательность

Мы имеем:

Пределом этой последовательности (равномерно сходящейся на любом отрезке числовой оси) является функция .