Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Лекция 2

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка первой степени можно, разрешив относительно производной, представить в виде . Простейший пример такого уравнения рассматривается в курсе интегрального исчисления. В этом простейшем случае решение содержит произвольную постоянную, которая может быть определена, если известно значение , тогда . В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию , уравнение также имеет единственное решение, удовлетворяющее условию , а его общее решение, т.е. множество решений, содержащее все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.

Дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к графику решения в той же точке. Зная и , можно вычислить . Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений и задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля.

Пример 1. . В каждой точке, отличной от точки (0,0), угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен отношению , т.е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в ту же точку . Очевидно, что интегральными кривыми в данном случае будут прямые , так как направления этих прямых всюду совпадают с направлением поля.

Пример 2. . Замечаем, что угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым и угловой коэффициент касательной к интегральным кривым примера 1 в каждой точке удовлетворяют условию ортогональности: . Следовательно, поле направлений, определяемое рассматриваемым дифференциальным уравнением, ортогонально полю направлений, изображенному на рис. Очевидно, что интегральными кривыми уравнения являются окружности с центром в начале координат (точнее, полуокружности и .

Пример 3. . Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. Уравнение изоклин получим, считая , где — постоянная; или . Следовательно, в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной некоторые определенные значения. Теперь уже можно приближенно провести искомые интегральные кривые.

Пример 4. . Изоклинами являются гиперболы или , причем при гипербола распадается на пару прямых и . При получаем изоклину ; эта гипербола разбивает плоскость на части, в каждой из которых сохраняет постоянный знак. Интегральные кривые , пересекая гиперболу , переходят из области возрастания функции в области ее убывания или, наоборот, из области убывания в область возрастания, и следовательно, на ветвях этой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральных кривых.

Определим теперь знаки второй производной в различных областях плоскости: или . Кривая или

(1)

разбивает плоскость на две части, в одной из которых , и, следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх, а в другой , и, следовательно, интегральные кривые вогнуты вверх (выпуклы вниз). При переходе через кривую (1) интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и следовательно, на этой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых.

В результате проведенного исследования известны области возрастания и убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба, известна изоклина . Этих сведений вполне достаточно для того, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых, но можно было бы вычертить еще несколько изоклин, что позволило бы уточнить расположение интегральных кривых.

Во многих задачах, в частности почти во всех задачах геометрического характера, переменные и совершенно равноправны. Поэтому в таких задачах, если они сводятся к решению дифференциального уравнения

(2)

естественно наряду с уравнением (2) рассматривать также уравнение

. (3)

Если оба эти уравнения имеют смысл, то они эквивалентны, так как если функция является решением уравнения (2), то обратная функция является решением уравнения (3), и следовательно, уравнения (2) и (3) имеют общие интегральные кривые.

Если же в некоторых точках одно из уравнений (2) или (3) теряет смысл, то в таких точках естественно его заменять другим из этих уравнений.

Например, уравнение теряет смысл при . Заменив его уравнением , правая часть которого уже не теряет смысла при , находим в дополнение к ранее найденным решениям еще одну интегральную кривую этого уравнения.

 

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида

(4)

называются уравнениями с разделенными переменными. Функции и будем считать непрерывными.

Предположим, что является решением этого уравнения, тогда при подстановке в уравнение (4) получим тождество, интегрируя которое, будем иметь

, (5)

где — произвольная постоянная.

Мы получили конечное уравнение (5), которому удовлетворяют все решения уравнения (4), причем каждое решение уравнения (5) является решением уравнения (4), так как если некоторая функция при подстановке обращает уравнение (5) в тождество, то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что удовлетворяет и уравнению (4).

Конечное уравнение , которое определяет решение дифференциального уравнения как неявную функцию , называется интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения.

Если это конечное уравнение определяет все без исключения решения данного дифференциального уравнения, то оно называется общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения. Следовательно, уравнение (5) является общим интегралов уравнения (4). Для того, чтобы уравнения (5) определяло как неявную функцию , достаточно потребовать, чтобы .

Вполне возможно, что в некоторых задачах неопределенные интегралы и нельзя будет выразить в элементарных функциях, тем не менее мы и в этом случае будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения (4) выполненной в том смысле, что мы свели ее к более простой и уже изученной в курсе матанализа задаче вычисления неопределенных интегралов — квадратур. Так как термин «интеграл» в теории дифференциальных уравнений часто применяется в смысле интеграла дифференциального уравнения, то во избежание недоразумений для интегралов функций обычно применяется термин «квадратура».

Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию , то оно, очевидно, определится из уравнения . Определим константу. Удовлетворяя начальному условию, т.е. подставляя , получим , откуда искомое частное решение в неявной форме определяется интегралом .

Пример 1. . Переменные разделены, так как коэффициент при является функцией только , а коэффициент при является функцией только . Интегрируя, получим или — семейство окружностей с центром в начале координат.

Пример 2. . Интегрируя, получаем . Интегралы и не берутся в элементарных функциях, тем не менее исходное уравнение считается проинтегрированным, так как задача доведена до квадратур.

Уравнения вида , в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от , называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, так как путем деления на они приводятся к уравнению с разделенными переменными: . Заметим, что деление на может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение , а если функции и могут быть разрывными, то возможно появление лишних решений, обращающих в нуль множитель .

Пример 3. . Разделяем переменные и интегрируем: . Потенцируя, получим . Если речь идет только о гладких решениях, то уравнение , где , эквивалентно уравнению или , где может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но не равняться нулю. Если же принять во внимание, что при делении на мы потеряли решение , то можно считать, что в решении постоянная может и равняться нулю. При этом мы получаем потерянное ранее решение .

Если в этом примере считать переменные и равноправными, то уравнение , теряющее смысл при , надо дополнить уравнением , как мы делали ранее. Такое уравнение, очевидно, имеет еще решение , не содержащееся в найденном выше решении .

Пример 4. . Разделяем переменные и интегрируем:

Пример 5. . Найти решение , удовлетворяющее условию .

Разделяем переменные и интегрируем:

.

Пример 6. Пусть — потенциал скоростей плоскопараллельного течения жидкости. Найти уравнение линий тока.

Линии тока являются ортогональными траекториями семейства эквипотенциальных линий . Находим угловой коэффициент касательной к эквипотенциальным линиям: . Следовательно, дифференциальное уравнение линий тока имеет вид , или ; интегрируя, получаем — семейство гипербол.

Пример 7. Полый однородный металлический шар, имеющий внутренний радиус , а внешний , находится в стационарном тепловом состоянии, причем температура на его внутренней поверхности равна , а на наружной . Найти температуру на расстоянии от центра шара, .

Из соображений симметрии следует, что является функцией только .

Так как между двумя концентрическими сферами с центрами в центре шара (их радиусы могут изменяться от до ) количество тепла остается неизменным, то через каждую сферу протекает одно и то же количество тепла . Следовательно, дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый процесс, имеет вид , где — коэффициент теплопроводности.

Разделяя переменные и интегрируя, получим искомую зависимость :

Для определения используем условие: при :

.

 

Рассмотрим теперь несколько другую запись. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть представима в виде . В случае, когда , общее решение уравнения с разделяющимися переменными задается соотношением .

Пример 8. Пусть . Это уравнение с разделяющимися переменными, так как , а .

Пусть , тогда , или . Поскольку , то общее решение исходного уравнения , где — произвольная постоянная.

 

 

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. К числу таких уравнений относятся, например, уравнения вида

,

где — постоянные величины, которые заменой переменных преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными. Действительно, переходя к новым переменным , будем иметь

,

или , и переменные разделились. Интегрируя, получим

.

Пример 1. .

Полагая , будем иметь

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Пример 2. .

Полагая , получим

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид .

Действительно, после подстановки или получим

Другая запись. Дифференциальное уравнение называется однородным, если — однородная функция нулевой степени.

Функция называется однородной степени , если для любого выполняется равенство

(6)

Например, функции являются однородными степени соответственно 0, 1, 2, .

Замена

(7)

приводит при однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, так как — однородная функция нулевой степени, то из (6) получаем равенство

. (8)

Из (7) имеем

. (9)

Подставив (8) и (9) в исходное уравнение , получаем уравнение с разделяющимися переменными . В случае аналогичный результат достигается заменой .

Заметим, что правая часть однородного уравнения является однородной функцией переменных нулевой степени однородности, поэтому уравнение вида (либо, в другой записи, ) будет однородным, если и являются однородными функциями и одинаковой степени однородности, так как в этом случае

.

Пример 3. .

Полагая и подставляя в исходное уравнение получим

Пример 4. .

Полагая , получим

Пример 5. .

Положив , получим . Далее .

Дифференциальное уравнение вида

(10)

называется обобщенным однородным уравнением. Оно приводится к однородному линейной заменой

, (11)

где — координаты точки пересечения прямых

Фактически, мы переносим начало координат в точку пересечения прямых.

Действительно, в этом случае справедливы равенства:

Поэтому, в силу (11), правая часть уравнения (10) принимает вид

.

Кроме того, из (11) получаем . Таким образом, уравнение (10) переходит в уравнение , правая часть которого есть однородная функция нулевой степени, в силу чего последнее уравнение является однородным.

Если же наши прямые не пересекаются, то в этом случае и, следовательно, . Тогда (10) переходит в уравнение

,

которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены .

Пример 6. .

Перепишем уравнение в форме

. (12)

Это уравнение является обобщенным однородным. Чтобы привести его к однородному, найдем точку пересечения прямых

(13)

Из (13) получаем . В уравнении (12) производим замену

и получаем однородное уравнение . В полученном уравнении положим . Тогда имеем:

. (14)

Функция является решением полученного уравнения. Остальные его решения найдем, разделяя переменные:

, или

. (15)

Решения получаем из формулы (15) при .

Переходя к переменным , получим .

Пример 7. .

Решая систему уравнений , получим . Полагая , будем иметь

.

Замена переменных или приводит к уравнению с разделяющимися переменными

,

Дифференциальное уравнение называется квазиоднородным, если функция является квазиоднородной степени , т.е. если при выполняется соотношение

. (16)

Замена

(17)

приводит квазиоднородное уравнение к однородному. Действительно, в силу (16), положив , получаем

. (18)

Подставляя в исходное уравнение, получаем

, откуда, в силу (18), .

Последнее уравнение является однородным.

Пример 8. .

Чтобы данное уравнение было квазиоднородным, необходимо, в силу (16), чтобы

,

или ,

т.е. чтобы система уравнений была совместной. Эта система эквивалентна одному уравнению , имеющему бесчисленное множество решений. Таким образом, исходное уравнение является квазиоднородным. Чтобы привести его к однородному уравнению, производим замену , в результате которой получаем . Последнее уравнение является однородным.