Лекция 8. (6 ч) Индексы
Понятие индекса и его значение в анализе экономических явлений. Индексы - относительные показатели, предназначенные для описания изменения какой-либо величины во времени или в пространстве.
Индекс - сводный, обобщенный итоговый показатель изменения изучаемого явления.
Пояснение: Индексный анализ широко применяется в анализе экономических явлений, а также в управленческой практике. Особое место здесь занимают индексы цен, которые нужны при разработке бизнес-планов новых производств, без них невозможно обойтись при пересчете основных показателей деятельности предприятия из фактически действующих цен в сопоставимые. Индексы цен позволяют соизмерять динамику цен во времени и их разброс в пространстве.
Например, индекс потребительских цен занимает важное место в статистике цен. Он отражает реальную покупательную способность денег, которыми располагают различные слои населения для удовлетворения своих материальных, культурных и духовных потребностей. Методология исчисления этого индекса предполагает расчет отдельно для различных регионов, товарных групп и услуг, отдельных групп населения с различными уровнями доходов.
Пересчет важнейших показателей из фактических цен в сопоставимые, исключающие влияние инфляции, осуществляется с помощью индексов дефляторов.
В зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы количественных (объемных) показателей (например, индекс физического объема продукции) и индексы качественных показателей (например, индексы цен, себестоимости)
Существующие взаимосвязи между важнейшими индексами позволяют выявить влияние различных факторов на изменение изучаемого явления, например связь между индексом стоимости продукции, физического объема продукции и цен. Другие индексы также связаны между собой. Так, индекс издержек производства - это произведение индекса себестоимости продукции и индекса физического объема продукции.
Индекс затрат времени на производство продукции может быть получен в результате умножения индекса физического объема продукции и величины, обратной величине индекса трудоемкости, т.е. индекс производительности труда.
Существует важная взаимосвязь между индексами физического объема продукции и индексами производительности труда.
Индекс производительности труда представляет собой отношение средней выработки продукции (в сопоставимых ценах) в единицу времени (или на одного занятого) в текущем и базисном периодах. Например, индекс физического объема продукции равен произведению индекса производительности труда на индекс затрат рабочего времени (или численности занятых).
Взаимосвязь между отдельными индексами может быть использована для выявления отдельных факторов, оказывающих воздействие на изучаемое явление.
Индекс производительности труда по производственным затратам показывает, во сколько раз увеличилась (уменьшилась) производительность труда, или сколько процентов составило снижение (рост) производительности труда в текущем периоде по сравнению с базисным.
Значение индекса, уменьшенное на 100% показывает, на сколько процентов изменилась производительность труда в текущем периоде по сравнению с базисным.
Разность числителя и знаменателя показывает абсолютный размер экономии (перерасхода) затрат живого труда в связи с ростом (уменьшением) его производительности.
В статистической практике часто возникает потребность в сопоставлении уровней экономического явления в пространстве: по странам, экономическим районам, областям, т.е. в исчислении территориальных индексов. При построении территориальных индексов приходится решать вопрос, какие веса использовать при их исчислении.
Индивидуальные и общие индексы. По форме индексы подразделяются на индивидуальные, агрегатные (общие) и средние. Индивидуальные индексы дают меру изменения величины. Средние и агрегатные индексы дают картину изменения по составляющим индексируемой величины.
Обозначения, принятые в индексном анализе:
Таблица 4
| р - цена |  - цена отчетного периода
|  - цена базисного периода
|
| q - количество |  - количество отчетного периода
|  - количество базисного периода
|
| z - себестоимость |  - себестоимость отчетного периода
|  - себестоимость базисного периода
|
Расчеты индивидуальных индексов просты по своей сущности и выполняются путем вычисления соотношения двух индексируемых величин. Формула индивидуального индекса цен: 
;
Формула индивидуального индекса физического объема:
.
Например. В январе 2005г. хлеб стоил 5 рублей (), а в январе 2006г. -7 рублей () Значит индивидуальный индекс изменения цены на хлеб вычисляется так: 
- рост цен на хлеб составили 140% или выросли на 40%.
Индивидуальные индексы могут исчисляться в виде индексного ряда за несколько периодов.
Агрегатный(от латинского aggrego — присоединяю) или общий индекс - составленный из отдельных частей. Обозначается буквой «I».
Агрегатные индексы - относительные показатели, характеризующие среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов.
Основной формой общих и групповыхиндексовфизического объема производства (товарооборота), цен, себестоимости и производительности труда (по трудовым затратам)является взвешенный агрегатный индекс. Он представляет собой соотношение сумм произведений индексируемых величин и их весов.
Методика построения агрегатного индекса предусматривает решение трех вопросов:
1. Какая величина будет индексируемой;
2. По какому составу разнородных элементов явления необходимо исчислить индекс;
3. Что будет служить весом при расчете индекса.
При выборе веса индекса принято руководствоваться следующим правилом: если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период, при построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода.
В развитии индексной теории сложились два направления: обобщающее, или синтетическое, и аналитическое.
Различие между этими направлениями обусловлено двумя возможностями интерпретации индексов в их приложении.
Обобщающее или так называемое синтетическое направление трактует индекс как показатель среднего изменения уровня изучаемого явления. В аналитической теории индексы воспринимаются как показатели изменения уровня результативной величины под влиянием изменения индексируемой величины. Так же к синтетическим свойствам общих (агрегатных) индексов следует отнести способность соединять в целое части несопоставимых в реальной жизни величин. Так в общих индексах возможно производить суммирование величин, в реальной жизни не слагаемых: - килограммы + литры + буханки + штуки +…и т.д.
Развитие второго направления было обусловлено применением индексного метода в экономическом анализе.
Способы построения индексов зависят от содержания изучаемых явлений, методологии расчета исходных статистических показателей и целей исследования.
Основными методиками расчета общих (агрегатных) индексов являются методы, названные по фамилиям их создателей:
1) Метод Ласпейреса:
-общий индекс цен;
-общий индекс физического объема.
Как видим в данном методе большинство используемых данных относятся к базисному периоду (, ). В связи с этим метод Ласпейреса чаще всего используют для прогнозов будущих явлений.
2) Метод Пааше:
общий индекс цен;
-общий индекс физического объема.
В формулах Пааше большинство элементов имеют индекс с подстрочным символом «1», т.е. относятся к настоящему, отчетному периоду. Данный метод чаще всего используют для сравнения одного периода с другим.
Однако, на практике нет жесткого закрепления какой индекс применять для каких целей. Лучше всего при расчетах (при возможности выбора общего индекса) использовать наиболее понятный индекс.
По одним и тем же данным одни и те же индексы, рассчитанные методом Ласпейреса и Пааше, дают несколько отличные результаты.
Пример. Имеются данные о реализации перечня продуктов в магазине:
Таблица
| Продукты | Ед.измер. | Март | Июнь | |||
| Количество ()
| Цена, руб. ()
| Количество ()
| Цена, руб. ()
| |||
| Шпроты | банка | |||||
| Сыр | кг | |||||
| Хлеб | буханка | |||||
Рассчитаем общий индекс цены сначала методом Ласпейреса, а затем Пааше и сравним полученные результаты:
То есть товарооборот в июне снизился на 3% (1 - 0,97) за счет изменения цен на рассматриваемые товары.
Теперь применим формулу общего индекса цен Пааше:
.
Получается, что товарооборот, рассчитанный методом Пааше показывает снижение товарооборота за счет снижения цен на товары на 10,4%. (1-0,896).
Такие различные значения получаются за счет применения различных данных из разных периодов. Поэтому часто приходится находить среднее значение между показателями Ласпейреса и Пааше. Такой средний индекс имеет название - индекс Фишера. Находится он по формуле:
.
Или по следующей формуле:
.
В каждой формуле общих индексов выделяют:
- индексируемые величины (имеющие различные подстрочные обозначения «0» и «1»);
- соизмерители (имеющие одинаковые подстрочные обозначения).
 |
Комплексный анализ на основе индексного метода заключается в расчете:
- общего индекса цен(
).;
- общего индекса физического объема (причем методы расчета должны быть различными, т.е. если общий индекс цен рассчитан методом Пааше, то для общего индекса физического объема необходимо применить метод Ласпейреса) (
);
- общий индекс товарооборота (
).
Пример. Выборочный ассортимент магазина канцелярских товаров представлен в следующей таблице:
Таблица
| Товары | Ед.измер. | ||||
| Количество, тыс.ед. ()
| Цена, руб. ()
| Количество ()
| Цена, руб. ()
| ||
| Альбом | шт. | ||||
| Ватман | лист | ||||
| Мел | уп. |
1) Найдем общий индекс цен методом Ласпейреса (произведите расчет методом Пааше самостоятельно):
,
товарооборот в 2006 вырос на 21% (1,21 - 1 или 121% -100%) за счет повышения цен на рассмотренные товары;
2) Рассчитаем общий индекс физического объема методом Пааше (теперь уже выбора нет, если первый раз был использован метод Ласпейреса):
,
товарооборот в 2006 вырос на 29% за счет увеличения количества реализуемых товаров.
3) Вычислим общий индекс товарооборота по формуле:
,
в целом товарооборот вырос на 56,6%.
4) Найдем абсолютное изменение товарооборота (путем вычитания из числителя знаменатель дроби): товарооборот в 2006г. вырос на 64 тыс.руб. (177-113) за счет влияния двух факторов:
а) изменения цен на 24 тыс.руб. (137-113);
б) изменения количества на 40тыс. руб. (177-137)
Средние взвешенные (гармонические) индексы. В тех случаях, когда известен товарооборот по каждому товару, но неизвестно отдельно значение цены или количество товаров применить обычную форму общего индекса невозможно. Например, за день выручка парикмахера составляет 3 тыс. руб., а выручка маникюрши 4 тыс. руб. Таким образом, товарооборот (произведение цены на количество) составил 3 и 4 т. руб. соответственно (рис. 6):
 |
Рисунок 6
Какое количество клиентов обеспечили эту выручку неизвестно, стоимость одной услуги так же неизвестна (она различна в зависимости от сложности работы). Значит, при подстановке в обычную формулу 
числитель составить невозможно. Однако, если известно, что количество товаров (или цена на услуги) изменилась на (предположим) 20%, можно рассчитать общие гармонические индексы по следующим формулам:
Средний взвешенный индекс Ласпейреса (данные базисного периода):
- средний арифметический индекс цен;
- средний арифметический индекс физического объема.
Средний взвешенный индекс Пааше (данные отчетного периода):
- средний гармонический индекс цен;
- средний гармонический индекс физического объема.
Пример. Рассмотрим пример по имеющимся данным
Таблица
| Вид услуг | Товарооборот | Изменение цен | |
Базисный период ( )
| Отчетный период ( )
| ||
| Парикмахерские | 2 500 | 3 000 | +20% |
| Маникюр | 4 200 | 4 000 | - 5% |
| Косметологические | 5 000 | 5 100 | Без изменения |
Проведем общий анализ товарооборота данных услуг (т.е. вычислим общий индекс цен, количества и товарооборота):
1) Рассчитаем общий индекс цен методом Пааше. Прежде чем производить подстановку в формулу, представим изменение цен в удобной форме - в виде коэффициентов:
- увеличение на 20% - это 120% или 1,2 (в коэффициенте);
- снижение на 5% - это 95% или 0,95;
- без изменения –это 100% или 1,00.
,
то есть товарооборот вырос на 2,45% (1,02 - это 102,45%; 102,45-100=2,45% прибавки) за счет изменения цен в отчетном периоде.
Теперь рассчитаем индекс физического объема. Однако без знаний индивидуальных индексов количества (
) данные формулы вычислить невозможно.
2) Рассчитаем общий индекс товарооборота:
,
товарооборот в отчетном периоде вырос на 3,4%
3) Зная взаимосвязи между индексами 
или 
можно рассчитать общий индекс физического объема 
:
,
товарооборот за счет изменения цен увеличился на 0,9 % (почти на 1%).
Таким же образом можно рассчитать изменение товарооборота в ценовом выражении: товарооборот в отчетном периоде вырос на 400 руб. (12100-11700) за счет:
- изменения цен на 289,5руб. (12100-11810,5);
- изменения количества на 110,5руб. (400-289,5).
Применим формулу среднего взвешенного (гармонического) индекса Ласпейреса для тех же данных, и рассчитаем с его помощью только общий индекс цен:
,
товарооборот вырос за счет изменения цен на 2,47 % (1,0247 – это 102,47%; 102,47 – 100 =2,47%). А индекс, рассчитанный по формуле Пааше, показал увеличение товарооборота на 2,45%. Показатели очень похожи, но не идентичны, объясняется это все тем же различием в периоде, за который берутся данные.
Цепные и базисные индексы. Между важнейшими индексами существуют взаимосвязи, позволяющие на основе одних индексов получить другие. Зная, например, значение цепных индексов за какой-либо период времени, можно рассчитать базисные индексы. И наоборот, если известны базисные, то путем деления одного из них на другой можно получить цепные индексы.
Индивидуальные и общие индексы могут рассчитываться цепным (сравниваем с предыдущим периодом) и базисным (сравниваем с первоначальным) периодом.
Рассмотрим цепные и базисные подстановки в индивидуальных индексах:
Таблица 5
| i = p1/p0 или i = q1/q0 | ||||
| базисные | - | p2004/p2003 | p2005/p2003 | p2006/p2003 |
| цепные | - | p2004/p2003 | p2005/p2004 | p2006/p2005 |
Пример. Имеются следующие данные о ценах на различные товары (тыс. руб.):
| товар | ||||
| Песок (т) | 2,5 | |||
| Лес (м3) | ||||
| Цемент (меш.) | 0,17 | 0,18 | 0,2 | 0,21 |
Базисные индексы:
| Наименование товара | ||||
| Песок (т) | - | 2/1 =2 | 2,5/1 =2,5 | 3/1 =3 |
| Лес (м3) | - | 10/9 =1,11 | 11/9 =1,22 | 13/9 =1,44 |
| Цемент (меш.) | - | 0,18/0,17 = 1,05 | 0,2/0,17 = 1,17 | 0,21/0,17 = 1,23 |
Цепные индексы:
| Наименование товара | ||||
| Песок (т) | - | 2/1 =2 | 2,5/2 = 1,25 | 3/2,5 = 1,2 |
| Лес (м3) | - | 10/9 =1,11 | 11/10 = 1,1 | 13/11 = 1,18 |
| Цемент (меш.) | - | 0,18/0,17 = 1,05 | 0,2/0,18 = 1,11 | 0,21/0,2 = 1,05 |
Рассмотрим цепные и базисные подстановки в общих индексах:
а) Общие индексы физического объема в форме Ласпейреса
Таблица 6
| ||||
| базисные | - | 
| 
| 
|
| цепные | - |
| 
| 
|
Общие индексы цен в форме Ласпейреса - цены
| ||||
| базисные | - | 
| 
| 
|
| цепные | - |
| 
| 
|
б) Общие индексы физического объема в форме Пааше:
|
| ||||
| базисные | - | 
| 
| 
|
| цепные | - | 
| 
| 
|
Общие индексы цен в форме Пааше:
| ||||
| базисные | - | 
| 
| 
|
| цепные | - | 
| 
| 
|
Пример. Рассмотрим пример:
Таблица: Цена на некоторые товары (тыс. руб.)
| Наименование товар | ||||||||
кол-во ( )
| Цена ( )
| кол-во ( )
| Цена ( )
| кол-во ( )
| Цена ( )
| кол-во (q06) | Цена (p06) | |
| Песок (т) | 2,5 | |||||||
| Лес (м3) | ||||||||
| Цемент (меш.) | 0,17 | 0,18 | 0,2 | 0,21 |
1) Рассчитаем общие индексы физического объема Ласпейреса базисным и цепным методом:
базисный метод -
;
;
.
цепной метод -
;
;
.
Рассчитаем общий индекс физического объема Пааше базисным и цепным методом:
базисный метод -
;
;
.
цепной метод -
;
;
.
2) Рассчитаем общие индексы цены цепным и базисным методом. Индексы в форме Ласпейреса:
базисный метод
;
;
.
цепной метод
;
;
.
Рассчитаем общий индекс цен Пааше базисным и цепным методом:
базисный метод
;
;
.
цепной метод
;
;
.
Пример. Имеются данные о продаже товаров в овощном магазине:
Таблица
| Наименование товара | Базисный период | Отчетный период | ||
| Количество ()
| Цена, руб. ()
| Количество()
| Цена, руб. ()
| |
| Картофель, т. | ||||
| Морковь, ц |
Определим:
1) Общий индекс физического объема продукции (количества);
2) Общий индекс цен;
3) Абсолютный размер экономии или перерасхода денежных средств.
На основании исчисленных индексов (1 и 2) определим индекс товарооборота.
Общий индекс физического объема вычислим по формуле Ласпейреса:
.
Подставив значения параметров(количество)вформулу, получим:
(260*650+270*250) / (260*500 + 270*200) = 1,298. Следовательно, объем реализованной массы в неизменных ценах увеличился на 29,8%.
Общий индекс цен исчисляется по формуле Пааше:
. Подставив значения параметров(количество в кг) в формулу, получим:
(300*650 +320*250) / (260*650 + 270*250) = 1,155. Следовательно,цены выросли в среднем на 15,5%.
Сравнив числитель и знаменатель индекса цен, получим абсолютный размер экономииили перерасхода денежных средств:
Δ = S р1q1 -S р0q1 = 2 725.
Так как стоимость товаров в ценахбазисного периода ниже фактической, топотребители заплатили в отчетном периоде на 2725 руб. больше за счет роста цен.
Индекс товарооборота можно исчислить на основе индекса цен и индекса физического объема по следующей формуле:
, т.е. товарооборот в фактических ценах увеличился на 49,9%.
Пример. Имеются следующие данные о продаже товаров в розничной торговле:
Таблица
| Группы товаров | Товарооборот, млн руб. | Изменение количества проданных товаров, в % | |
| Базисный период | Отчетный период | ||
| Обувь | +15 | ||
| Трикотаж | +30 |
Для анализа объемов реализации определим:
1) общий индекс физического объема товарооборота;
2) общий индекс цен и абсолютный размер экономии (перерасхода) денежных средств.
Общий индекс физического объема товарооборота найдем по методу средних отношений, взвешивая на базисные товарообороты (формула Ласпейреса):
.
Индивидуальные индексы количества в нашем случае соответственно 1,15 и 1,3. Поэтому имеет место рост физического объема реализации на 22,2%.
Абсолютную величину экономии денежных средств определим как разность числителя и знаменателя: Δ = 2150 – 1760 =390. Население в отчетном периоде тратило на приобретение этих товаров больше на 390 руб.
При построении индексов всегда возникает множество дискуссионных вопросов. Оценку «правильности» системы индексов сформулировал американский статистик И.Фишер. Он определил основные правила, которым должна удовлетворять система индексов:
1. обратимостьво времени: 1ху = 1/1ху , где х, у - периоды сравнения. Это означает, что если индекс показывает снижение в отчетном периоде в n раз, то в базисном периоде он должен показать увеличение в п раз;
2. обратимость по факторам: если поменять местами в индексе цен символы цен и количеств, то должны получить индекс количеств. При этом если умножить его на индекс цен, то получим индекс изменения общей стоимости.
Различают индексы постоянногои переменного состава. Необходимость применения индексов постоянного и переменного состава возникает в том случае, когдадинамика средних показателей отражает не только изменение усредняемого признака, но и изменение состава данной совокупности.
Например, средняя цена на молоко может изменяться не только под влиянием изменения цены молока, но и в результате изменения структуры (состава) товарной массы; средняя себестоимость какого-либо изделия может измениться не только в результате изменения себестоимости этого изделия на заводах, но и в результате изменения удельных весов заводов с разной себестоимостью в общем выпуске этого изделия.
Пример. Рассмотрим систему индексов, характеризующих развитие экономических явлений, используя данные таблицы. Приведем описание, устройство индексов, смысл и назначение каждого индекса в системе.
Таблица
| Продукт | август | сентябрь | ||
| Кол-во (т) | Цена за 1кг | Кол-во (т) | Цена за 1кг | |
| морковь | ||||
| лук |
Определим величину индекса физического объема:
,
перемножаем отчетные количества и базисные цены
, затем суммируем
.
Находим стоимость объема товаров каждого вида в базисном периоде по базисным ценам: 
, и суммируем
.
Тогда получим индекс физического объема:
.
Реализация продукции в физических объемах возросла в 1,6731 раза в отчетном периоде по сравнению с предыдущим.
Определим индекс цен:
.
,
,
.
Цены в отчетном периоде в 0,8271 раза меньше предыдущего периода.
Определяем индекс товарооборота 
.
Товарооборот в текущих ценах возрос в 1,3839 раза в отчетном периоде по сравнению с базисным, полностью за счет увеличения физических объемов.
Контрольное соотношение 
.
Пример. Реализация продукции в области представлена следующими данными:
Таблица
| Наименование товара | Продано, т | Цена за 1кг, руб | ||
| 2000 (q0) | 2001 (q1) | 2000 (p0) | 2001 (p1) | |
| Персики | ||||
| Виноград | ||||
| Яблоки | ||||
| Капуста | ||||
| Лук | ||||
| Картофель | ||||
| Баранина | ||||
| Гуси |
Сводные индексы:
Ipq= åp1q1/åp0q0 = (10*97+6*65+9*70+32*45+12*12+17*18+24*150+123*250)/ (11*63+7*51+9*45+34*30+14*10+19*15+23*110+118*146) = 38230 / 22658 = 1,6873 – индекс товарооборота;
Ip = åp1q1 /åp0 q1 =(10*97+6*65+9*70+32*45+12*12+17*18+24*150+123*250) /
(10*63+6*51+9*45+32*30+12*10+17*15+24*110+123*146)= 38230 / 23274 = 1,6426 – индекс цен;
Iq=åq1p0/åp0q0=(10*63+6*51+9*45+32*30+12*10+17*15+24*110+123*146)/ (11*63+7*51+9*45+34*30+14*10+19*15+23*110+118*146) = 23274 / 22658 = 1,0272 – индекс физического объема;
Ip * Iq = Ipq – взаимосвязь индексов, 1,6426 * 1,0272 = 1,6873
Контрольное соотношение:
Ipq / Ip * Iq = 1,6873 / (1,6426 * 1,0272) = 1,0000
Производство и реализация продукции возросли в 1,0272; цены на продовольствие возросли в 1,6426; реализация в текущих ценах возросла в 1,6873 преимущественно за счет роста цен.
Абсолютное значение экономии (перерасхода) за счет изменения количества реализованных товаров - Dq = åq1 p0- åq0 p0, Dq = 23274 – 22658 = 616 (в сопоставимых ценах реализация продукции возросла на 616 руб.).
Абсолютное значение экономии (перерасхода) за счет изменения цен - Dp=åq1 p1 – åq1 p0, Dp = 38230 – 23274 = 14956 (потребители заплатили за один и тот же набор товаров на 14956 руб. больше, в следствии роста цен).
Абсолютное изменение товарооборота составило: D pq = åq1 p1 – åp0 q0, Dpq= 38230 – 22658 = 15572 (товарооборот в текущих ценах возрос на 15572 руб., преимущественно за счет роста цен).
Индивидуальные индексы:
Например, подсчитаем индексы по яблокам:
ip = p1 / p0 = 70 / 45 = 1,5556;
iq = q1 / q0 = 9 / 9 = 1;
ipq = p1 q1 / p0 q0 = 9*70 / 9*45 = 630 / 405 = 1,5556
по капусте:
ip = 45 / 30 = 1,5;
iq = 32 / 34 = 0,9412 (94,12%);
ipq = 45*32 / 30*34 = 1440 / 1020 = 1,4118
Индексы динамики объема производства и реализации капусты составляет 94,12%, что означает снижение ее продажи на 5,88%.
Групповые индексы:
Рассчитаем систему индексов по фруктам:
Iq = (10*63+6*51+9*45) / (11*63+7*51+9*45) = 1341 /1455 = 0,9216
Ip = (10*97+6*65+9*70) / (10*63+6*51+9*45) = 1990 / 1341 = 1,4840
Ipq = (10*97+6*65+9*70) / (11*63+7*51+9*45) = 1990 / 1455 = 1,3677
1,3677 / 0,9216 * 1,4840 = 1,0000
Производство фруктов снизилось в 0,9216 раза; цены возросли в 1,4840 раз; реализация в текущих ценах возросла в 1,3677 раза полностью за счет роста цен.
Абсолютное значение экономии (перерасхода) за счет изменения количества реализованных товаров: Dq = 1341 – 1455 = -114 руб (производство и реализация снизились).
Абсолютное значение экономии (перерасхода) за счет изменения цен: Dp = 1990 – 1341 = 649 (потребители переплатили вследствие роста цен на 649руб.).
Абсолютное изменение товарооборота составило: D pq = 1990 – 1455 = 535 (товарооборот в текущих ценах возрос полностью за счет роста цен).
Лекция 9. Ряды динамики. (4 ч)
Последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления, называются динамическими (хронологическими или временными) рядами. Ряды динамики состоят из двух элементов: уровней ряда и времени, к которому они относятся. Уровни ряда (обозначаются «у») – это показатели, числовые значения которых составляют динамический ряд. Время (обозначается «t») – это моменты или периоды, к которым относятся уровни ряда.
Динамические ряды имеют огромное значение для выявления и изучения складывающихся закономерностей в развитии явлений экономической, политической и культурной жизни общества.
Ряды динамики делятся на два вида – моментные и интервальные ряды. Моментными рядами называются ряды статистических величин, характеризующие размеры изучаемого явления на определенные даты, моменты времени.
Пример. Изменение численности студентов группы, состоящей из 30 человек в течение учебного дня:
| T (время) | 830 | 1010 | 1200 |
| Y (кол-во студентов) |
На момент начала первой пары присутствовали 15 студентов, на момент начала второй пары присутствовали 23 студента (пришли еще 8), на момент начала третьей пары присутствовали 21 студент (двое отпросились).
Если сложить все уровни, то есть численность студентов на начало каждой пары, получим 15+23+21=59 студентов. А полный состав группы – 30 человек. Следовательно, произошло повторное сложение одних и тех же студентов, которые в основном составе присутствовали на паре с небольшим изменением в численности. Таким образом, уровни моментных рядов динамики не подлежат суммированию.
Интервальными рядами называются ряды динамики, характеризующие размеры изучаемого явления за определенные промежутки (периоды, интервалы) времени. Например, небольшой магазин, в котором продавцы работают в режиме неделя через неделю. Ежедневная выручка сдается в банк и копится на счете. В конце недели подводятся итоги работы (таб.1).
Таблица 1
| Дни недели | Понедельник | Вторник | Среда | Четверг | Пятница | Суббота | Воскресенье |
| Выручка, тыс.руб. |
За рассматриваемую неделю товарооборот составил 150 тыс.руб. То есть суммируя интервальные ряды, находим итоги за более продолжительный период.
Одни и те же данные можно выразить моментными и интервальными рядами динамики. Так в рассмотренном выше примере с группой студентов, ряд динамики можно отобразить интервальными уровнями (таб.2.):
Таблица 2
| T (время) | 830 | 1000 | 1200 |
| Y (кол-во студентов) | +8 | -2 |
Суммируя уровни, получаем количество студентов на конец учебного дня: (15+8+ (-2)) = 21 студент.
Ряды динамики могут быть выражены абсолютными, средними и относительными величинами.
Полный ряд динамики (с равностоящими уровнями) - это ряд, в котором одноименные моменты времени или периоды времени строго следуют один за другим в календарном порядке или равноотстоят от друга.
Неполный ряд динамики (с не равностоящими уровнями) - это ряд, с неравными периодами или неравномерными промежутками между датами.
Изучение динамических рядов, позволяет решать следующие задачи:
1) характеристика интенсивности отдельных изменений в уровнях ряда от периода к периоду или от даты к дате;
2) определение средних показателей временного ряда за тот или иной период;
3) выявление основных закономерностей динамики исследуемого явления на отдельных этапах и в целом за рассматриваемый период;
4) выявление факторов, обусловливающих изменение изучаемого объекта во времени;
5) прогноз развития явления на будущее.
Эти задачи решаются с помощью показателей изменения уровней ряда динамики. Расчет показателей основан на сравнении между собой уровней ряда.
Существуют два способа сопоставления уровней ряда. Первый способ предполагает сравнение каждого уровня динамического ряда с одним и тем же предшествующим уровнем, принятым за базу сравнения. В качестве базисного используют какой-либо характерный, типичный уровень, например, конечный уровень предыдущего этапа развития или средний его уровень. Полученные при таком сравнении показатели называются базисными. Показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели) - это показатели окончательного результата всех изменений в уровнях ряда от периода, к которому относится базисный уровень, до назначенного (i - того) периода.
Второй способ предполагает сравнение каждого уровня динамического ряда с непосредственно ему предшествующим. Такое сравнение называется сравнением с переменной базой. Полученные при этом показатели называются цепными. Показатели динамики с переменной базой (цепные показатели) - это показатели, интенсивности изменения уровня от периода к периоду (или от даты к дате) в пределах изучаемого промежутка времени.
Рассмотрим основные показатели рядов динамики.
Абсолютный прирост(
) - это разность между двумя уровнями динамического ряда, которая показывает, на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения.
Формула расчета базисного абсолютного прироста:
,
где yi -- уровень i-го сравниваемого периода,
y0 -- уровень базисного периода.
Формула расчета цепного абсолютного прироста:
,
yi-1 -- уровень предшествующего периода.
Если уровень уменьшился по сравнению с базисным, то 
< 0. В этом случае абсолютный прирост характеризует абсолютное уменьшение (сокращение) уровня. Абсолютные приросты для любых рядов динамики являются интервальными показателями, т.е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени.
Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных приростов равна соответствующему базисному приросту, т.е. общему приросту за весь период.
Абсолютная скорость роста (снижения) уровня - абсолютный прирост за единицу времени с переменной базой.
Абсолютное ускорение -разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период одинаковой длительности:
.
Абсолютное ускорение может быть как положительным, так и отрицательным числом. Абсолютное ускорение показывает, на сколько увеличилась (уменьшилась) скорость изменения показателя. Показатель ускорения применяется только для цепных абсолютных приростов. Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда. Абсолютные приросты для любых рядов динамики являются интервальными показателями, т.е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени.
Коэффициент роста (темп роста) - это отношение двух сравниваемых уровней, которое показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень базисного периода. Отражает интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень.
Темпы роста вычисляются по формулам:
цепной - 
;базисный - 
,
где 
- текущий уровень ряда; 
— уровень, предшествующий ; 
— начальный уровень ряда.
Если темпы выражены в виде простых отношений, т.е. база сравнения принимается за 1, а не за 100, то полученные показатели называются коэффициентами роста.
Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в форме коэффициентов, существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста за весь соответствующий период.
Например,
.
Темп прироста - характеризует относительную величину прироста, т.е. представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню.
;
цепной - 
; базисный - 
.
Выраженный в процентах, темп прироста показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100%.
Между цепными и базисными коэффициентами роста существует взаимосвязь, позволяющая переходить от цепных коэффициентов к базисным и обратно:
1) произведение соседних цепных коэффициентов роста равно базисному;
2) частное от деления двух базисных коэффициентов роста равно цепному.
При анализе динамических рядов относительные показатели динамики, т. е. темп роста и темп прироста нельзя рассматривать отдельно от абсолютных показателей, т. е. абсолютных приростов. Снижение темпов роста и прироста не всегда идет одновременно с уменьшением абсолютного прироста. При замедлении темпов роста абсолютный прирост может увеличиваться.
Существует показатель, который позволяет сопоставить абсолютный прирост с темпом прироста. Это абсолютное значение одного процента прироста. Он представляет собой отношение абсолютного прироста к темпу прироста:
.
Эта величина показывает, сколько в абсолютном выражении дает каждый процент прироста.
Все относительные показатели динамики характеризуют интенсивность процесса роста (снижения) уровня.
Коэффициент абсолютного опережения– отношение абсолютных приростов за одинаковые отрезки времени или по двум динамическим рядам. Показывает во сколько раз абсолютный прирост одного явления больше, чем прирост другого явления:
,
где 
и 
- абсолютные приросты, сравниваемых динамических рядов.
Для сравнения интенсивности изменения двух рядов динамики применяют показатель - коэффициент опережения. Он исчисляется как отношение темпов роста за одинаковые отрезки времени по двум рядам динамики:
,
где Tp′ и Tp′′ — темпы роста и темпы прироста сравниваемых динамических рядов. Сравнение проводят путем деления большего из них на меньший. При этом сравниваемые темпы должны характеризовать одинаковую по направлению тенденцию.
Пример. Рассмотрим расчет основных показателей динамики, представленный в таблице.
Таблица - Показатели рядов динамики
| Показатель | |||||
| Объем произведенной продукции млн. руб. | |||||
| Численность персонала, чел | |||||
| Абсолютный прирост объема продукции, млн. руб. | |||||
| Базисный
| - | 15-10 =5 | 14-10 =4 | 17-10 =7 | 19-10=9 |
| Цепной
| - | 1 -10 =5 | 14-15=-1 | 17-14 =3 | 19-17 =2 |
| Абсолютный прирост численности персонала, чел. | |||||
| Базисный | - | 55-50=5 | 51-50=1 | 56-50=6 | 58-50=8 |
| Цепной | - | 55-50=5 | 51-55=-4 | 56-51=5 | 58-56=2 |
| Темп роста объема продукции % | |||||
| Базисный
| - | (15/10)*100 =150% | (14/10)*100 = 140% | (17/10)*100 =170% | (19/10)*100 =190% |
| Цепной
| - | (15/10)*100=150% | (14/15)*100=93,3% | (17/14)*100=121% | (19/17)*100=111% |
| Темп роста численности персонала % | |||||
| Базисный | - | (55/50)*100=110% | (51/50)*100 =102% | (56/50)*100 =112% | (58/50)*100 =116% |
| Цепной | - | (55/50)*100=110% | (51/55)*100=92,7% | (56/51)*100=109,8% | (58/56)*100=103,5% |
| Темп прироста объема продукции % | |||||
| Базисный
| - | (5/10)*100=50% | (4/10)*100= 40% | (7/10)*100=70% | (9/10)*100=90% |
Цепной 
| - | (5/10)*100=50% | (-1/15)*100= -6,6% | (3/14)*100 =21% | (2/17)*100 =11,7 % |
| Темп прироста численности персонала % | |||||
| Базисный | - | (5/50)*100 =10% | (1/50)*100 =2% | (6/50)*100 =12% | (8/50)*100 =16% |
| Цепной | - | (5/50)*100 =10% | (-4/55)*100 =-7,2% | (5/51)*100 =9,8% | (2/56)*100 =3,5% |
Темп наращивания объемов производства 
| - | (5/10)*100 = 50% | (-1/10)*100 = -10% | (3/10)*100 = 30% | (2/10)*100 = 20% |
| Темп наращивания численности персонала % | - | (5/50)*100 = 10% | (-4/50)*100 = -8% | (5/50)*100 = 10% | (2/50)*100 = 4% |
| Абсолютное значение 1% прироста объемов производства млн. руб. | |||||
Базисный
| - | 5/50= 0,1 | 4/40 =0,1 | 7/70=0,1 | 9/90= 0,1 |
Цепной
| - | 5/50= 0,1 | -1/-6,6=0,15 | 3/21 =0,14 | 2/11,7=0,17 |
| Абсолютное значение 1% прироста численности персонала, чел. | |||||
| Базисный | - | 5/10=0,5 | 1/2=0,5 | 6/12=0,5 | 8/16=0,5 |
| Цепной | - | 5/10=0,5 | -4/7,2=-0,55 | 8/9,8=0,5 | 2/3,5=0,57 |
| Объем производства на 1 работника, млн. руб. | 10/50 =0,2 | 15/55 = 0,27 | 14/51=0,27 | 17/56=0,3 | 19/58=0,32 |
Проанализируем полученные данные. Абсолютные приросты объемов производства показывают относительно стабильное увеличение темпов (+5; +4; +7; +9) в сравнении с первоначальным (базисным) 2001г., и нестабильные, колеблющиеся темпы развития по сравнению с предыдущим (цепной метод) периодом.
Абсолютные приросты численности персонала выявляют ежегодное увеличение численности персонала по сравнению с базисным годом. При сравнении цепным способом обнаруживаем одинаковые приросты в 2002 и 2004гг (+5чел.), существенное снижение в 2003г. (-4чел.), и затухающие приросты в конце анализируемого периода, т.е. в 2005г. по сравнению с 2004г. (+2).
Анализ темпов роста объемов производства показывает, что в 2002г. уровень этого показателя составил 150% относительно предыдущего 2001г., в 2003г. он составил 93,3% относительно 2002, в 2004 – 121%, в 2005 -111%. Такие темпы роста характеризуют производство как нестабильное, развивающееся скачкообразно.
Темп наращивания позволяет сделать вывод, с какими темпами происходит увеличение (уменьшение) исследуемого показателя из года в год относительно показателя первоначального периода.
Абсолютное значение 1% прироста показывает, сколько рублей (или человек) заключается в 1% увеличения (уменьшения). Таким образом, в 2004г. объемы производства увеличились на 3 млн. руб. или на 21%, при этом 1% прироста составлял 0,14 млн. руб. (3/21=0,14 млн.руб.).
Объем производства на 1 работника показывает персональный вклад каждого из сотрудников в создание общего продукта. Так в 2005г. выработка на 1 рабочего была максимальной и составила 327586 руб. Минимальной выработка была в 2001г., когда ее уровень равнялся 200000 руб./чел. Так же следует заметить, что ежегодно происходит увеличение показателя выработки, что свидетельствует о грамотной кадровой политике.
Изменение уровней динамического ряда могут происходить с различной скоростью. Однако в определенные периоды времени могут обнаруживаться общие черты, характерные для данного периода. Важно изучать закономерность в изменении показателей динамики для того, чтобы дать характеристику тенденции изменений. Существует несколько типов характера изменений показателей рядов динамики, к числу основных из них относятся: 1) падающие абсолютные приросты; 2) стабильные абсолютные приросты; 3) стабильные темпы роста; 4) увеличивающиеся темпы роста.
Для обобщающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и закономерностей, и решения других задач анализа используются средние показатели временного ряда - средние уровни, средние абсолютные приросты и средние темпы динамики.
Средний абсолютный прирост (или средняя скорость роста) - это средняя арифметическая из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени.
Формула расчета среднего абсолютного прироста:
,
где n— число уровней ряда;
— абсолютные изменения по сравнению с предшествующим уровнем.
Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени. Средний абсолютный прирост характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня и всегда является интервальным показателем. Вычисляя средний абсолютный прирост указывают:
1) за какой календарный период исчислен средний прирост;
2) в расчете на какую единицу времени он исчислен.
Средний коэффициент роста - это показатель, вычисляемый по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды. Он показывает, во сколько раз в среднем за отдельные составляющие рассматриваемого периода изменялись уровни динамического ряда.
Формула расчета среднего коэффициента роста:
,
Где K1K2….Kn-1, — коэффициенты роста по сравнению с уровнем предшествующего периода;
n— число уровней ряда.
Средний темп роста-это средний коэффициент роста, выраженный в процентах.
Формула расчета среднего темпа роста:
T = K 100 %,
Где K — средний годовой коэффициент роста.
Особенности использования среднего темпа роста: