Точки максимума и минимума функции

Экстремум функции

2.

Определение 1. Точка х₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(х) ≥ f(х₀).

Определение 2. Точка х₁ называется точкой минимума функции f(х), если в некоторой окрестности точки х₁ выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₁).

Значения функции в точках х₀ и х₁ называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₀.

 

min max min max

Необходимое условие экстремума. Если в точке х₀ дифференцируемая функция у = f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f'(х₀) = 0. Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема.

Для того чтобы функция у = f(x) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f'(х₀) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическим (или стационарными).

Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

 

Первое достаточное условие экстремума. Теорема. Если при переxоде через точку х₀ производная дифференцируемой функции у = f(х) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у = f(х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.