Измерение длин кривых способом Штейнгауза .

Приближённые способы измерения длин кривых.

Большинство приближённых способов основано на измерениях величин, которые находятся во взаимосвязи с длиной системы кривых. Так, например, при исследовании статистической связи между длиной A внешнего контура, который ограничивает участок, длиной L заполняющей участок дорожной сети, и числом ячеек n, на которые делит участок эта сеть, была установлена связь между вышеперечисленными характеристиками:

(1)

-общая протяжённость линий без учёта внешнего контура.

 

Формула (1) может быть получена геометрическим путём, если допустить, что рассматриваемая сеть без существенного искажения длин может быть представлена квадратной сеткой. Получим, что число малых квадратов вдоль стороны большого равна ,а число внутренних линий, параллельных этой стороне равна -1.Длина каждой из этих линий равна .

Учитывая также линии, параллельные другой стороне большого квадрата, получим формулу (1).

Для получения общей длины линий с учётом внешнего контура (L),формула будет иметь следующий вид:

 

 

Лучшие результаты по этим формулам могут быть получены тогда, когда сеть дорог внутри какого-либо контура однородна по густоте. Периметр квадрата может быть найден через его площадь:

, и формула (1) может быть приведена к такому виду:

 

Для вычисления протяжённости речной сети существует формула , полученная в результате математико-статистических исследований: (км)

S - площадь бассейна

n- общее число рек бассейна.

Для определения общей протяжённости речной и овражно-балочной сети горных и предгорных районов применяется следующая формула:

(км)

N - число всех тальвегов длиной не менее 1 км.

Рассмотренные способы характеризуются средней ошибкой 5-10%. Основное их преимущество состоит в том, что объём необходимых косвенных измерений гораздо меньше, чем прямых.

 

В 1930 г. Польским математиком Г. Штейнгаузом был разработан оригинальный способ , с помощью которого можно определить длину одной кривой ,а также общую длину некоторой совокупности кривых без измерения отдельных кривых. Процесс измерения состоит в следующем. Прозрачная палетка с равноотстоящими линиями – строками произвольно накладывается на изображение кривых и подсчитывается число n₁ пересечений строк с измеряемыми кривыми.

 

После этого направление строк изменяется на ,где N- целое число (в данном случае N=4) и подсчитывается число пересечений n₂ и т.д. – всего N подсчётов.

Длина кривых вычисляется по формуле :

 

Где a- расстояние между строками, которое может быть найдено через измерение палеткой (как линейкой) отрезка линии с известной длиной на плане или карте.

Относительная средняя квадратическая ошибка измерений по способу Штейнгауза может быть рассчитана по следующей приближённой формуле:

 

 

- средняя кривых;

-число свободных концов кривых.