Вывод уравнения Поклингтона.

Распределение тока, найденное из аналогии между антенной (принципиально диссипативная система) и длинной линией без потерь (формула 8.2) не дает возможности определить входное сопротивление вибратора с достаточной точностью в широкой полосе частот. Для этого следует использовать более точную математическую модель, основанную на самосогласованной постановке. Такая постановка приводит к формулировке интегродифференциального уравнения относительно распределения тока.

Основываясь на связи векторного потенциала и распределения тока в тонком идеально проводящем цилиндрическом вибраторе, возбуждаемом в центре идеальным источником напряжения и переходя от векторного потенциала к вектору напряженности электрического поля, удается записать граничное условие на поверхности антенны. Такая запись граничного условия и приводит к уравнению Поклингтона.

8.3.1.Векторный потенциал цилиндрического вибратора:

Рис. 8.3.1.

 

При выводе выражения для векторного потенциала будем исходить из содержания теоремы запаздывающих потенциалов и ряда приближений:

1) Антенна идеально проводящая: .

2) Радиус проводника антенны много меньше ее длины .

Вычислим векторный потенциал на поверхности антенны. Исходя из теоремы запаздывающих потенциалов в цилиндрической системе координат векторный потенциал определяется как:

 

 

Здесь: - координаты точки интегрирования, - координаты точки наблюдения, – расстояние между точкой наблюдения и точкой интегрирования, V – объем занимаемый токами. Учитывая наличие сильного скин-эффекта, будем считать, что ток течет в бесконечно тонком слое по поверхности проводника (рис.8.3.2.а).

 

а)идеальный проводник б) реальный металл

 

Рис. 8.3.2.

 

Таким образом, математически вектор плотности тока можно записать в виде: , здесь - неизвестная скалярная функция. Для ее определения подставим последнее выражение в известное соотношение: .

Рис. 8.3.3.

 

Элемент поверхности запишется так: , интеграл легко берется с учетом фильтрующего действия дельта- функции:

Отсюда окончательно получим: выражение для вектора плотности тока: .

Теперь можно окончательно записать векторный потенциал:

.

Для выражения расстояния между точками наблюдения и интегрирования выделим две точки на поверхности антенны и .

Рис. 8.3.4.

 

При можно воспользоваться теоремой косинусов: . Тогда для произвольных мы можем записать: . Учитывая, что радиус антенны весьма мал, можно использовать приближенное среднее значение , не зависящее от угла. Действительно, из рис. 8.3.4. видно, что , в итоге получаем:

 

. (8.3.1)

 

8.3.2.Электрическое поле на поверхности цилиндрической антенны.

Как известно, связь электрического поля и векторного потенциала имеет вид:

. Найдем учитывая, что векторный потенциал имеет только одну продольную составляющую, как это видно из выражения (8.3.1) : :

,

Градиент этого выражения в силу зависимости только от координаты будет иметь только -ую проекцию:

.

 

Теперь найдем электрическое поле:

. (8.3.2.)

 

Итак, мы получили выражение для вектора напряженности электрического поля, обусловленного током, протекающим по проводнику и зависящему от геометрии антенны, длины волны, свойств среды.