Прямая в пространстве.
4.1. Различные уравнения прямой в пространстве.
4.1.1. Канонические уравнения прямой в пространстве.
Положение прямой однозначно определяется,
если известна одна её точка
и направляющий вектор По
этим данным составим уравнения прямой.
Возьмем на прямой произвольную точку Векторы и
коллинеарны, отсюда:
(13)
Это канонические уравненияпрямой в пространстве.
4.1.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки.
Две точки прямой определяют её направляющий вектор . По формуле (13) получим искомые уравнения:
(14)
4.1.3. Параметрические уравнения прямой.
Они получаются из канонических:
(15)
Задавая параметру различные значения, получим координаты различных точек прямой.
4.1.4. Общие уравнения прямой.
Прямая может быть получена как линия пересечения двух плоскостей:
(16)
если
Уравнения (16) называются общими уравнениямипрямой в пространстве.
Получим канонические уравнения этой прямой. Возьмем на ней какую-нибудь точку Направляющий вектор в дпск есть векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей:
Окончательно получим:
Задача.Определите точку пересечения прямой
с плоскостью
4.2.Взаимное расположение двух прямых.
Зададим в аффинной системе координат две прямые: и
По направляющим векторам и вектору можно определить
взаимное расположение данных прямых. Возможны 4 случая: 1) прямые скрещиваются, 2) прямые пересекаются, 3) прямые параллельны,4)прямые совпадают.
Очевидно, прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
Тогда их смешанное произведение равно 0:
=0 (17)
1) Прямые скрещиваются тогда и только
тогда, когда
(18)
2) Прямые пересекаются тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости, то есть выполнено условие (17), и векторы коллинеарны.
3) Прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек. При этом векторы удовлетворяют условиям:
(19)
4) Ясно, что прямые совпадают тогда и только тогда, когда векторы
, и попарно коллинеарны.
Задача 1.Определите взаимное расположение прямых
и
Задача 2.Напишите уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей прямые:
4.3. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Зададим в аффинной системе координат прямую
(20) и плоскость (21)
Будем искать общие точки прямой и плоскости. Для этого нужно решить систему уравнений (20) и (21):
Обозначим:
(22)
Возможны следующие случаи.
1) Система (20),(21) имеет единственное решение
Прямая пересекает плоскость.
Решая систему (20),(21), найдем точку пересечения прямой и плоскости.
2) Система не имеет решений, если
Причем, так как Прямая и плоскость параллельны.
3) ) Система (20),(21) имеет бесконечно много решений
Прямая принадлежит плоскости.
Задача.Определите взаимное расположение прямой и плоскости
4.4.Прямая линия в системе координат .
4.4.1. Угол прямой с плоскость.
Опр. Углом прямой с плоскостью называется острый угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.
Зададим в системе координат
прямую
и плоскость
(22)
Условие параллельности прямой и плоскости:
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
4.4.2. Угол между двумя прямыми.
Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между прямыми, параллельными данным и проходящим через одну точку. Его величину можно найти как угол между направляющими векторами прямых. Пусть заданы две прямые:
;
Задача 1.Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости
Задача 2.Найдите точку, симметричную точке относительно прямой
Задача 3.Найдите расстояние от точки до прямой
Задача 4.Найдите расстояние между диагональю куба с ребром 1 и не пересекающей её диагональю грани.
Задача 5.Составьте уравнения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых
и