Прямая в пространстве.

4.1. Различные уравнения прямой в пространстве.

4.1.1. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Положение прямой однозначно определяется,

если известна одна её точка

и направляющий вектор По

этим данным составим уравнения прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку Векторы и

коллинеарны, отсюда:

(13)

Это канонические уравненияпрямой в пространстве.

4.1.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки.

Две точки прямой определяют её направляющий вектор . По формуле (13) получим искомые уравнения:

(14)

4.1.3. Параметрические уравнения прямой.

Они получаются из канонических:

(15)

Задавая параметру различные значения, получим координаты различных точек прямой.

4.1.4. Общие уравнения прямой.

Прямая может быть получена как линия пересечения двух плоскостей:

(16)

если

Уравнения (16) называются общими уравнениямипрямой в пространстве.

Получим канонические уравнения этой прямой. Возьмем на ней какую-нибудь точку Направляющий вектор в дпск есть векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей:

Окончательно получим:

Задача.Определите точку пересечения прямой

с плоскостью

 

4.2.Взаимное расположение двух прямых.

Зададим в аффинной системе координат две прямые: и

По направляющим векторам и вектору можно определить

взаимное расположение данных прямых. Возможны 4 случая: 1) прямые скрещиваются, 2) прямые пересекаются, 3) прямые параллельны,4)прямые совпадают.

Очевидно, прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Тогда их смешанное произведение равно 0:

=0 (17)

1) Прямые скрещиваются тогда и только

тогда, когда

(18)

2) Прямые пересекаются тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости, то есть выполнено условие (17), и векторы коллинеарны.

3) Прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек. При этом векторы удовлетворяют условиям:

(19)

4) Ясно, что прямые совпадают тогда и только тогда, когда векторы

, и попарно коллинеарны.

Задача 1.Определите взаимное расположение прямых

и

Задача 2.Напишите уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей прямые:

 

4.3. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Зададим в аффинной системе координат прямую

(20) и плоскость (21)

Будем искать общие точки прямой и плоскости. Для этого нужно решить систему уравнений (20) и (21):

Обозначим:

(22)

Возможны следующие случаи.

1) Система (20),(21) имеет единственное решение

Прямая пересекает плоскость.

Решая систему (20),(21), найдем точку пересечения прямой и плоскости.

2) Система не имеет решений, если

Причем, так как Прямая и плоскость параллельны.

3) ) Система (20),(21) имеет бесконечно много решений

Прямая принадлежит плоскости.

Задача.Определите взаимное расположение прямой и плоскости

 

4.4.Прямая линия в системе координат .

4.4.1. Угол прямой с плоскость.

Опр. Углом прямой с плоскостью называется острый угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

Зададим в системе координат

прямую

и плоскость

(22)

Условие параллельности прямой и плоскости:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

4.4.2. Угол между двумя прямыми.

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между прямыми, параллельными данным и проходящим через одну точку. Его величину можно найти как угол между направляющими векторами прямых. Пусть заданы две прямые:

;

Задача 1.Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости

Задача 2.Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

Задача 3.Найдите расстояние от точки до прямой

Задача 4.Найдите расстояние между диагональю куба с ребром 1 и не пересекающей её диагональю грани.

Задача 5.Составьте уравнения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

и