Прямая в декартовой прямоугольной системе координат

 

7.4.1. Нормальный вектор прямой.

Прямая задана в системе

Опр. Нормальным вектором прямой называется

любой ненулевой вектор , перпендикулярный

направляющему вектору.

 

В аффинной системе координат, в частности в дпск, общее уравнение прямой направляющий вектор.

Возьмем вектор как видно,

нормальный вектор. Отсюда ясен геометрический смысл коэффициентов если прямая задана в дпск уравнением

Пусть прямая проходит через точку тогда Вычитая из уравнения прямой, получим:

(11)

Это уравнение прямой с нормальным вектором и проходящей через точку

7.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

где или

7.4.3. Расстояние от точки до прямой

Пусть в дпск заданы прямая и точка

Найдем расстояние от точки до прямой.

 

Вычислим скалярное произведение

(12)

Задача.Найдите расстояние от точки до прямой

Задача.Найдите расстояние между прямыми:

7.4.4. Угол между прямыми.

Опр. Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими векторами.

Из определения следует, что углом между двумя прямыми является один из 4-х углов при их пересечении.

Опр. Угол называется направленным, если указан порядок его сторон.

Пусть

или (13)

Условие параллельности : или

Условие перпендикулярности: .

Задача.Найдите проекцию точки на прямую

 

7.4.5. Решение задач.

№1. Составьте уравнения прямых, параллельных прямой и отстоящих от точки на расстояние

№2. Найдите точку симметричную точке относительно прямой

№3. Точка является вершиной правильного треугольника, её противоположная сторона: Составьте уравнения двух других сторон.

№4. Составьте уравнение биссектрисы того угла между прямыми внутри которого лежит точка

№5. Центр симметрии квадрата есть точка уравнение одной стороны Составьте уравнения других сторон.

№6. Докажите, что ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности треугольника лежат на одной прямой –прямой Эйлера.

№7. Составьте уравнение биссектрисы острого угла между прямыми

№8. Составьте уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

уравнения биссектрисы и медианы проведенными из различных вершин.

№9. Определите, лежит ли точка внутри или вне треугольника со сторонами

Отв.Вне.