Векторное произведение векторов.

7.1. Правые и левые тройки векторов.

Три произвольных вектора , рассматриваемые в определенном порядке, называются упорядоченной тройкой. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов считается правой, если эти векторы расположены так же, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если они располагаются, как те же пальцы левой руки, то тройка называется левой.

7.2. Определение и свойства векторного произведения.

Опр.Векторным произведением вектора на вектор называется такой третий вектор , который

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;

2) ортогонален каждому из векторов и ;

3) направлен так, что тройка векторов - правая.

Обозначение векторного произведения: или .

 

Свойства векторного произведения.

1) (антикоммутативность),

2) (распределительный закон),

3) Если и , то , в частности ,

4) Векторное произведение ортов: , , .

Вообще произведение любых смежных векторов в последовательности дает следующий вектор со знаком «+», а в обратной последовательности – со знаком «-».

5) Для любого вещественного числа справедливы соотношения:

6) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей , в декартовой прямоугольной системе координат.

=

7) Геометрический смысл модуля векторного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и : ;

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна .

 

Пример 1.Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах , , если , , .

Решение. .

1)

2) .

Пример 2.Найдите площадь треугольника, построенного на векторах ,

Решение.

1) Найдем вектор .

2) .

 

§8. Смешанное произведение векторов.

Опр.Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора на вектор , то есть число

.

Свойства смешанного произведения.

1. Если векторы , и заданы своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат, то смешанное произведение их вычисляется по формуле:

 

∆ Так как =

то =

=

▲

2. Смешанное произведение есть число положительное, если тройка перемножаемых векторов правая, и отрицательное, если – левая.

3. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется: .

4. От перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак: .

5. Скалярное и векторное умножения можно поменять местами: .

6. Числовой множитель можно выносить за знак смешанного произведения:

7. Справедлив распределительный закон: .

8. Геометрический смысл смешанного произведения: в дпск модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах:

 

∆ Пусть некомпланарные векторы , и заданы в ортонормированном базисе. Перемножая получим вектор, модуль которого равен площади параллелограмма,

построенного на векторах Обозначим

единичный вектор того же направления

Тогда где площадь

параллелограмма. Умножим этот вектор

скалярно на

Но есть длина высоты параллелепипеда, взятая со знаком «+», если вектор расположен в том же полупространстве относительно плоскости что и вектор и со знаком «-« в противном случае. Таким образом:

Если вектор в том же полупространстве, что и то есть тройка правая, то имеем знак «+». ▲

Объем пирамиды .

9. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Пример.Найдите объем тетраэдра с вершинами

∆

▲