Первообразная и неопределенный интеграл.

n^o1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке .

Определение 1. Дифференцируемая на промежутке функция называется первообразной функции на этом промежутке, если .

(1)

Замечание 1. Первообразная функции на промежутке ,будучи дифференцируемой функцией на этом промежутке является также и непрерывной на нем.

Замечание 2. Очевидно, если - первообразная функции на промежутке , то какова бы ни была постоянная , функция

( ) также является первообразной для :

Более того, как показывает следующая простая теорема любые две первообразные функции на промежутке ,отличаются друг от друга на этом промежутке на некоторую постоянную.

Теорема 1. Если и - две первообразные функции на промежутке , то существует такая постоянная что

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как и – первообразные функции на промежутке , то

Поэтому

но это, как известно, означает, что функция является постоянной на промежутке □

Таким образом, если - какая то первообразная функции то любая другая имеет вид , где некоторая постоянная.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции .

Неопределенный интеграл от функции обозначается следующим образом

при этом символ называется знаком интеграла, а функция - подынтегральной функцией .

Если какая то первообразная функции на данном промежутке , то в соответствии с теоремой 1 совокупность всех первообразных функции есть следующее множество функций:

Таким образом, по определению неопределенного интеграла

(2)

Однако обычно пишут короче:

(3)

где - произвольная постоянная.

Замечание 3. В связи с определением неопределенного интеграла отметим, что равенство двух неопределенных интегралов

это – равенство двух множеств, а именно, множеств первообразных функций и . Последнее следует иметь в виду ниже, когда будут рассматриваться свойства неопределенного интеграла.

Отметим еще, что если - первообразная функции , то

В связи с этим далее по определению будем считать , что

n^o 2. Основные свойства неопределенного интеграла.

. Если функция дифференцируема на промежутке , то

или, иначе,

. Если функция имеет первообразную , то

и, следовательно,

Свойства и являются прямыми следствиями определения 2 . Они показывают, что в некотором смысле операции интегрирования и дифференцирования являются обратными друг другу.

. Если функция имеет первообразную, то какова бы ни была постоянная , функция также имеет первообразную, причем всякая первообразная функции равна произведению числа на некоторую первообразную функции и, наоборот, всякое такое произведение есть некоторая первообразная функции , т.е.

Таким образом, постоянную можно выносить за знак неопределенного интеграла.

. Если функции и имеют первообразные на промежутке ,то и функция имеет на нем первообразную , причем всякая первообразная функции является суммой некоторых первообразных функций и ; верно и обратное : всякая такая сумма является первообразной функции .Таким образом,

Упражнение 1. Приведите доказательства свойств и неопределенного интеграла.

Следствием свойств и являются следующее свойства:

. (Линейность неопределенного интеграла ). Если функции и имеют первообразные на промежутке , то каковы бы не были вещественные числа и , функция также имеет первообразную на промежутке , причем

Замечание 4. Свойства и неопределенного интеграла естественным образом распространяются на любое конечное число функций , имеющих первообразные на промежутке .В частности для любых постоянных

Справедливость этого неравенства легко установить индукцией по .

n^o3. Таблица неопределенных интегралов от элементарных функций. Для того ,чтобы найти первообразную функции , а следовательно и неопределенный интеграл от этой функции, нужно найти такую функцию , производная которой всюду на заданном промежутке совпадает с функцией . Поэтому из таблицы для производных вытекает следующая таблица неопределенных интегралов.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Полезно помнить также , что имеют место и следующие две формулы:

15.
15.

Упражнение 2. Докажите справедливость двух последних формул.

n^o4. Формула интегрирования по частям и формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на промежутке и существует первообразная функции .

Тогда существует и первообразная функции ,а также имеет место формула

(1)

(формула интегрирования по частям).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По правилу дифференцирования произведения дифференцируемых функций имеет место формула

Запишем её в виде

По условию функция имеет первообразную; функция также имеет первообразную (ей является функция ). Поэтому в силу свойства линейности неопределенного интеграла из предыдущего равенства следует, что первообразную имеет и функция , причем