Условные экстремумы 2х переменных.

Экстремумы функции нескольких переменных.

Производная сложной функции.

 

Доказательство:

 

- ограниченное число

Дифференцирование неявных функций.

Функция, связывающая независимые переменные x,y,z,… а так же саму функцию U нескольких переменных x,y,z,… называется неявной функцией.

F(x,y,z,…;U(x,y,z,…))=0

Пусть функция y=f(x) функция одной переменной и независимая переменная х связана уравнением: F(x,y)=0. Если F(x,y) непрерывна в окрестности точки М₀(х₀,у₀) и имеет такие непрерывные частные производные и , причем в точке , то можно найти следующим образом: .

Доказательство:

F(x,y)=0, у=у(х), по правилу дифференцирования сложной функции продифференцируем:

 

Пусть z=z(x;y) F(x;y;z)=0

 

Пример:

 

Пусть точка М₀(х₀,у₀) называется точкой максимума (минимума) функции y=f(x;y), если . . Минимумы и максимумы функции называются экстремумами.

 

Пример:

1) z=(x-1)²+(y-2)²-1

Очевидно, что точка А(1;2) является точкой минимума, так как все остальные значения х и у больше или равны 1.

2) z=0.5-sin(x²+y²)

В данном случае точка М(0;0) будет точкой максимума так как

Теорема. Необходимое условие экстремума:

Если функция U=f(x;y) имеет экстремум в точке М₀, то в точке М₀ и в точке М₀ либо равны 0, либо не существуют.

Пусть у=у₀, тогда , так как при х=х₀ она будет иметь экстремум: или . Доказательство при х=х₀ аналогично.

Пример:

они обращаются в нуль в точке О(0;0)

xy>0 при x>0, y>0

xy<0 при x>0,y<0; x<0,y>0. То есть определение экстремума не выполняется.

Приведем достаточное условие экстремума для стационарных точек М₀(х₀;у₀)

 

Теорема. Достаточное условие экстремума:

Пусть в некоторой области, содержащей точку М₀(х₀;у₀), функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до 3го порядка включительно и эта точка является стационарной.

 

>0 – если А<0, то функция имеет max. M₀ – max. если А>0, функция имеет min в точке М₀

<0 – экстремумов нет.

=0 – требуется дополнительное исследование.

Пример:

 

- стационарные точки.

 

 

для случаев 3 и 4 экстремумов нет.

Для функции n переменных при определение экстремума и необходимые условия сохраняются. Необходимое условие в случае дифференцируемой функции y=F(x₁,x₂,…,x_n) кратко запишется в виде df(x₁,x₂,…,x_n)=0.

 

Для функции 2х переменных имеем:

Пусть z=f(x;y) и она определена на D. Пусть - подмножество, заданное условием что f(x;y)=0, тогда точка М₀(х₀;у₀) точка условного экстремума, условного max или min для функции f(x;y). Если , что для выполняются условия:

или .

Рассмотрим способы нахождения условного экстремума:

1. Если это возможно из уравнения связи F(x;y)=0 находят и затем подставляют в функцию .

Эта функция становится функцией одной переменной х. в этом случае задача решается известными методами.

2. Составляем функцию Лагранжа:

 

- множество Лагранжа.

Очевидно, что на множестве L второе слагаемое обращается в нуль в следствие выполнения условия: F(x;y)=0 (уравнения связи).

Таким образом на L выполняется следующее условие: . И поэтому задача в случае 2х переменных так же сводится к поиску экстремума функции одной переменной х.

Формально процедура решения такова:

(1)

Находим решение

Пусть М₀(х₀;у₀),λ₀ - любое из решений системы (1). Подставляя это решение в формулу найденный из уравнения связи дифференциал: и обозначая определитель следующим образом:

Тогда если <0, то z=f(x;y) и она же имеет в точке М₀(х₀;у₀) условный максимум. Или же >0, то z=f(x;y) – условный минимум.

Пример: