Функции. Область определения.
Комплексные числа
Комплексным числом называют выражение x+iy, где R, i2=–1, - мнимая единица.
Обозначим z= x+iy, х называют действительной (Re), у – мнимой (Im) частями комплексного числа. Тогда х=Rez, y=Imz. Такая форма называется алгебраической формой записи комплексного числа. Комплексное число z=iy называется чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обозначают С= , R C.
Пример 6.1: Найдите решение уравнения
+2x+2=0
Решение.D=4–4 2=–4
= = =-1±
Числа z=x+iy и =x–iy называются комплексно-сопряженными.
Например: если z=5–2i, то =5+2i .
Комплексное число x+iy определяется парой вещественных чисел (х,у) и поэтому изображается точкой М(х;у) плоскости или ее радиус вектором (рис.7). Длина этого вектора называется модулем комплексного числа, а его угол φ с осью Ох называется аргументом комплексного числа . Т.к. x=rcosφ, y=rsinφ, то получаем тригонометрическую форму комплексного числа:
z=r(cosφ+i sinφ).
Введем обозначение называемое формулой Эйлера:
еiφ=cosφ+i sinφ.
Тогда получим показательную форму комплексного числа:
z=reiφ .
Действия над комплексными числами
в алгебраической форме
Пусть z1=x1+iy1 , z2=x2+iy2 .
Сложение: z1+z2= x1+x2+ i(y1+y2).
Вычитание: z1-z2= x1-x2+ i(y1-y2).
Умножение: z1 ·z2=(x1+iy1)·(x2+iy2)=x1 x2-y1 y2+i(x1 y2+ x2y1) (при умножении комплексных чисел скобки раскрываются по правилу умножения многочленов).
Деление: .
Пример 6.2: z1=2+i, z2=-3+2i. Найти z1+z2 , z1–z2 , z1 ·z2 , .
Решение. z1+z2 =2-3+i(1+2)=-1+3i; z1–z2 =2+3+i(1-2)=5-i;
z1 ·z2 =(2+i)( –3+2i)=-6-2+i(4-3)=-8+i;
=–3–2i;
=
.
Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме
Пусть z1 = r1(cosφ1+i sinφ1), z2= r2(cosφ2+i sinφ2).
Умножение комплексных чисел:
z1 ·z2= r1(cosφ1+i sinφ1) r2(cosφ2+i sinφ2)= r1 r2 (cos(φ1+ φ2)+i sin(φ1+ φ2)).
Деление комплексных чисел:
= (cos(φ1 - φ2 )+i sin(φ1 - φ2)).
Возведение в целую положительную степень комплексного числа:
zn=(r(cosφ+i sinφ))n= rn(cosnφ+i sinnφ).
Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа (Формула Муавра):
, .
Действия над комплексными числами
в показательной форме
Пусть , .
Умножение комплексных чисел:
z1 ·z2= = r1 r2 .
Деление комплексных чисел:
= .
Возведение в целую положительную степень комплексного числа:
zn=( reiφ)n= rn einφ .
Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа (Формула Муавра):
, .
Таким образом, имеет n различных значений, которые располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса с центром в начале координат и делит ее на n равных частей.
Пример 6.3: Пусть z=-1+ i. Найти z5.
Решение. Запишем z в тригонометрической форме.
,
, .
Тогда z=2 .
Откуда, z5=25 =32 =
=32 = .
Пример 6.4: Найти все значения (действительные и мнимые) w= .
Решение. Запишем z=1-i в показательной форме.
,
, .
Следовательно, z= . Воспользуемся формулой извлечение корня n-ой степени из комплексного числа:
= , .
k=0, w0= = ;
k=1, w1= = ;
k=2, w2= = .
Способы задания
Функцией y=f(x), определенной на множестве Х и принимающей значения на множестве Y, называется такое соответствие между этими множествами, при котором для каждого существует единственный элемент :
y=f(x), , .
Множество Х=D(f) – область определения функции; Y=E(f) – область значений функции; х – независимая переменная (аргумент); у – зависимая переменная (функция).
Если каждому значению соответствует несколько или бесконечно много значений , то считают, что задана многозначная функция.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, графический и табличный.
1. При аналитическом способе функция задается одной или несколькими формулами, действующими на не пересекающихся частях области определения.
Примеры: 1.1 у=х2, х R
1.2 y=
1.3 y= , x≥0
2. При графическом способе функция задается кривой (графиком) в плоскости XOY, причем любая прямая, параллельная оси OY, пересекает кривую не более чем в одной точке (рис. 10).
| y=f(x) |
Рис.10
3. При табличном способе функция задается в виде таблицы значений аргумента и соответствующих значений функции.
| x | ||
| y |
Функция х= (у) называется обратной к функции y=f(x), устанавливающей взаимно-однозначное соответствие между Х=D(f) и Y=E(f), если выражает то же соответствие, причем Y= D(), а Х= E().
Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
x1 < x2 f(x1) < f(x2)
Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
x1 < x2 f(x1) > f(x2)
Функция называется четной, если (в частности она симметрична относительно оси oy).
Функция называется нечетной, если . Такая функция симметрична относительно начала координат.
Функция, не являющаяся не четной не нечетной, называется функцией общего вида.
Функция называется периодической с периодом Т>0, если .
Примеры: