Евклидово пространство.

Нормированное пространство.

Метрическое пространство.

 

Пусть M – некоторое множество и любым двум его элементам x, y M ставится в соответствии неотрицательное число R₊, причем выполняются условия:

1. x=y;

2. ( симметрия);

3. .

В таком случае пара называется метрическим пространством, отображение – метрикой (расстоянием), а M – множеством, на котором задана метрика .

Пример 2.1: Пусть , M – произвольное множество. Докажем, что – метрическое пространство.

Решение. Покажем, что для выполняются условия метрики 1–3.

1) из определения функции x=y;

x=y из определения функции .

2) = .

3) Проверим выполнение условия

.

Рассмотрим несколько вариантов расположения x, y и z.

a) x=y=z , тогда , , выполняется.

b) x=y z , тогда , , выполняется.

c) y=z x, тогда , , выполняется.

d) x=z y , тогда , , выполняется.

e) x y z , тогда , , выполняется.

Следовательно является метрикой, а – метрическим пространством.

Пример 2.2: Пусть , M=R . Докажем, что – метрическое пространство

Решение. Покажем, что для выполняются условия метрики 1–3.

1. (x,y) = 0, |x–y|=0 x–y=0 x=y;

x=yx–y=0 |x–y|=0 (x,y)=0.

2. (x,y) = |x–y| (y,x) = |y–x|

|y–x| =|–1(x–y)| =|–1|∙|x–y| = |x–y| |y–x| =|x–y|

(x,y) = (y,x).

3. (x,y) = |x–y|, (x,z) = |x–z|, (y,z) = |y–z|

Докажем, что ≤ +

= ≤ + = + .

Следовательно является метрикой, а – метрическим пространством.

При решении п.3 мы воспользовались свойством

≤ + .

Докажем его. Для этого рассмотрим 4 случая:

1. x>0, y>0

=x+y, так как =x, =y

2. x>0, y<0

а) > <

б) > <

<

< +

3. x<0, y<0

= =|–x–y|= + = +

4. x<0, y>0 доказывается аналогично п.2.

Задача 2.3: Докажите, что – метрическое пространство:

a) ,

M=R² ( ; );

b) ,

M=R² ( ; );

c) ,

M=R² ( ; ).

 

 

Множество Х называется линейным пространством, если для любой пары его элементов определены операции сложения и умножения на число.

Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу х поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое ||x||, для которого выполняются условия:

1. ||x|| 0, причем ||x||=0 только при x=0;

2. ||x+у|| ||x||+||у||, ;

3. || x||=| |∙||x||, R .

Пример 3.1: Множество вещественных чисел становится нормированным пространством, если положить ||x||=|x|.

Решение. Покажем, что для ||x||=|x| выполняются условия нормы 1-3.

1) По определению .

Если |x|= ; если |x|=­­ – .

А также |x|=0 x=0.

2) Если , так как |x| ;

если .

3) || x||=| x|=| |∙|x|=|=| |∙||x||.

Следовательно |x| является нормой, а множество вещественных чисел – нормированным пространством.

Пример 3.2: В пространстве Rⁿ с элементами можно положить в качестве нормы

1) ; 2) ; 3) .

Пример 3.3: В пространстве C[a,b] непрерывных функций на отрезке [a,b] норму можно определить формулой

.

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние . Из свойств нормы 1–3 вытекает справедливость аксиом метрического пространства.

 

Линейное пространство Е называется евклидовым, если любым двум элементам f,g поставлено в соответствие число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (f,g)(или f∙g), для которого выполняются условия:

1. коммутативность: (f,g)= (g, f);

2. линейность: (αf+βg, h)= α(f, h)+ β(g, h), R;

3. (f,f) ;

4. если (f,f)=0, то f=0.

Пример 4.1: Множество действительных чисел Rявляется пространством со скалярным произведением (евклидовым пространством), если под скалярным произведением (х,у) чисел х и у понимать их обычное произведение: (х,у) = х∙у.

x=( , ), y=( , )

x y= +

=

(x,y)=

В качестве нормы можно положить ||x||=|x|. Метрикой будет являться функция .

Пример 4.2: В арифметическом действительном линейном n-мерном пространстве Rⁿв качествескалярного произведения (х,у) векторов и можно взять:

(х,у) = .

В качестве нормы можно положить . Метрикой будет являться функция .

5. Действительные (вещественные) числа

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел (вещественных чисел) и обозначается R. Подмножества множества действительных чисел называются числовыми множествами. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Перечислим основные свойства, которыми обладают эти операции.

1. Операция сложения.

Для любой пары чисел R определено единственное число, называемое суммой и обозначаемое a+b, так что при этом выполняются следующие условия:

1.1. a+b= b+a.

1.2. (a+b)+c= a+(b+c).

1.3. Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0, что a+0=a.

1.4. Для любого числа a существует число, называемое ему противоположным и обозначаемое –a, для которого a +(–a)=0 .

Число a+(–b) называется разностью чисел a и b обозначается a–b.

2. Операция умножения.

2.1. a∙b= b∙a.

2.2. (a∙b) ∙c= a∙ (b∙c).

2.3. Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что a∙1=a.

2.4. Для любого числа a существует число, называемое ему обратным и обозначаемое или 1/а, для которого a ∙ =1 .

Число a∙ , b называется частным от деления a на b обозначается a:b или , или a/b.

3. Связь операций сложения и умножения.

(a+b)c=ac+bc, R

4. Упорядоченность ( a˂b или a≤b)

4.1. a˂b, b˂c =˃ a˂c

 

5. Непрерывность

Если a˂b, то c a≤c≤b

Множество элементов, обладающих свойствами 1–5, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой, или числовой осью, а отдельные числа – ее точками.

=

(a;b)= - (интервал)

(a;b]=

Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞, –∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается .

Любой отрезок множества действительных чисел состоит из несчетного множества точек.