Решение.
Решение.
а) 8 подмножеств:
1. Ø ; 5.{a,b};
2.{a}; 6.{b,c};
3.{b}; 7.{a,c};
4.{c}; 8.{a,b,c}.
b) 2n подмножеств.
Задача 1.2: Доказать, что множество А тогда и только тогда является подмножеством множества В, когда любой элемент, не принадлежащий В, не принадлежит А.
Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих в множества А или В (рис.3). Обозначается .
Рис.3 Рис.4
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих в множества и в А, и в В (рис.4). Обозначается .
Задача 1.3: Доказать, что для множеств А={196, 201} и B={x| x2–2x–3=0} верно = Ø.
Уравнениеx2–2x–3=0 имеет два решения х1= –1 и х2=3 .
Следовательно, B={–1;3}, A={196;201} и = Ø.
Для объединения и пересечения множеств выполняются следующие свойства:
1. коммутативность: = , = .
2. ассоциативность: (AB) C=A (BC),
(AB) C=A (BC).
3. дистрибутивность: (AB) C=(AC) (BC),
(AB) C=(AC) (BC).
Разностью множеств А и В называется подмножество множества элементов множества А не входящих в В (рис.5). Обозначается А\В.
Рис.5
Задача 1.4: Доказать:
a) (A\B) C=(A C)\(B C);
b)(A\B) (B\A)=( )\( ).
Если , то множество А\В называется дополнением множества В до множества А.
Примеры:
1. {1,2,3,4} {1,3,5}={1,2,3,4,5}.
2. {1,2,3,4} {1,3,5}={1,3}.
3. {1,2,3,4}\{1,3,5}={2,4}.
Считают, что между множествами Х и Y установлено соответствие, если для любого указаны соответствующие ему(рис.6).
| X x |
| Y y y |
Рис.6
Соответствие между Х и Y называется взаимно-однозначным, если для любого существует единственный элемент и наоборот для любого существует единственный элемент (рис.7).
| X x |
| Y y |
Рис.7
Непустое множество А называется конечным, если можно указать такое фиксированное числоn N, что количество элементов множества А меньше n. Множество не являющееся ни пустым, ни конечным называется бесконечным.
Вопросы:
1. Является ли конечным множество простых делителей числа .
2. Всегда ли для конечного множества можно указать число, большее числа элементов этого множества. Приведите примеры.
Два множества называются равномощными (эквивалент-ными), если между элементами этих множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие.
4. Когда два конечных множества равномощны ?
5. Равномощны ли множества: N, Z и Q.
6. Докажите равномощность: a) множества всех точек прямой и множества всех точек окружности; b) множества всех точек плоскости и множества всех точек сферы.
7. Докажите равномощность отрезка [0,1] всей числовой прямой.
Множества, равномощные множеству N называются счетными.
8. В качестве примера можно привести счетность следующих множеств:
a) четных натуральных чисел;
b) рациональных чисел;
c) объединения двух счетных множеств;
d) объединения счетного числа счетных множеств;
е) множества вирусов, которые когда-либо будут жить на земле.
9. Докажите равномощность множества точек отрезка [0,1] и множества точек квадрата (включая внутреннюю область).
10. Доказать или опровергнуть, что множество всевозможных бесконечных цепочек, составленных из нулей и единиц, счетно.
Аксиома выбора : Для любого множества R попарно непересекающихся непустых множеств Z существует, по крайней мере, одно множество M, содержащее по одному и только по одному элементу из каждого из множеств Z множества R.
Для сокращения записи математических высказываний используется символика математической логики.
Высказывание– это предложение, которое либо истинно, либо ложно. Пусть – некоторые высказывания.
Запись означает «не », отрицание ;
- «из следует » (Þ- символ импликации, означает «следует», «влечет за собой» );
- « эквивалентно » ( - символ эквивалентности, означает «эквивалентно», «тогда и только тогда»);
- « и » ( - символ конъюнкции);
- « или » ( - символ дизъюнкции);
"x- «для любого x», «для каждого x» ("- квантор всеобщности);
$x - «существует x», «существует, по крайней мере, хотя бы один x» ($ - квантор существования);
- знак единственности (квантор единственности);
$! x - “существует единственный элемент x”;
: - “такой, что”;
- “по определению”.