Краткие теоретические сведения.

При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 9.1). Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется по формуле σ=Мх/ где Мх —изгибающий момент, возникающий в рассматриваемом сечении;

Jx—момент инерции сечения относительно нейтральной линии при прямом изгибе нейтральная линия совпадает с той из главных центральных осей инерции, которая перпендикулярна силовой линии); у—расстояние от точки нейтральной линии до точки, в которой вычисляется нормальное напряжение.

Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Для балки постоянного сечения наибольшее напряжения возникают в поперечном сечении, где изгибающий момент максимален, и определяются по формуле:

Для сечений, симметричных относительно нейтральной линии:

Рис. 9.1.

Отношение Jx/(h/2) называется моментом сопротивления сечения при изгибе или осевым моментом сопротивления. Его размерность [длина ]. Моменты сопротивления простейших сечений вычисляют по следующим формулам:

прямоугольник:

где b - сторона сечения, параллельная нейтральной линии.

Круг:

Кольцо:

Осевой момент сопротивления сечения является геометрической характеристикой прочности прямого бруса, работающего на изгиб. Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, следует применять сечения, симметричные относительно нейтральной линии. Из этих сечений наиболее рациональны двутавровое*, коробчатое, кольцевое.

При сечениях, симметричных с нейтральной линии, формула для расчета на прочность имеет вид:

Для балок из хрупких материалов, не одинаково
работающих на растяжение и сжатие, рациональны сечения, несимметричные относительно нейтральной линии, например тавр ,несимметричный двутавр, П-образное сечение. При применении этих сечений следует располагать их таким образом, чтобы большая часть материала (например, полка таврового сечения) находилась в растянутой зоне балки. Если эпюра Мх имеет участки разных знаков, это указание относится, к сечению, в котором изгибающий момент максимален (по абсолютной величине). Рис. 9.2.

При указанном расположении сечения наиболее рационально материал используется при такой конфигурации сечения, когда нейтральная линия делит высоту балки в отношении YA : YB- [ ]: [ ]

Для балок из хрупких материалов, в случае если эпюра однозначна, расчет па прочность ведется либо по наибольшим растягивающим, либо по наибольшим сжимающим напряжениям, т. е. по одной из следующих зависимостей:

[ ]

[ ]

Первая из них используется при >[ ]:[ ]; вторая -при <[ ] [ ]; В случае если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков, может оказаться, что опасным станет сечение, в котором момент не максимален, но само сечение расположено нерационально, например полки тавра находится в сжатой зоне. В этом случае помимо проверки по одной из формул, приведенных выше, выполняемой для сечения, где Мх максимален, необходимо произвести расчет по наибольшим растягивающим напряжениям для сечения с наибольшим моментом противоположного знака, т.е. составить дополнительное условие прочности: , где - наибольшее растягивающее напряжение; Мх — изгибающий момент в указанном сечении. Касательные напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяются по формуле:

где - поперечная сила в рассматриваемом сечении; - статический момент относительно нейтральной линии той части сечения, которая расположена по одну сторону прямой проведенной через данную точку (прямая проводится параллельно нейтральной линии); by - ширина поперечного сечения на уровне рассматриваемой точки; Jx —момент инерции всего сечения относительно нейтральной линии.

В подавляющем большинстве случаев касательные напряжения невелики и их вычисление не представляет практического интереса Исключения могут иметь место при тонкостенных балках (например, сварных двутавровых), нагруженных большими cсосредоточенными силами вблизи опор, либо вообще имеющих малую длину. В указанных случаях наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям следует произвести расчет по наибольшим касательным напряжениям, возникающим в том поперечном сечении где Qy максимальна. Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид . Обычно для стальных балок принимают . Если в точках поперечного сечения балки возникают значительные нормальные и касательные напряжения, то в том случае необходимо применить одну из гипотез прочности.

 

Последовательность решения задачи:

1. Уяснить условие задачи.

2. Определить опорные реакции.

3. Построить эпюры Qy и Мх.

4. Определить требуемые размеры поперечных сечений (из расчёта на прочность).

5. При найденных размерах сравнить их массы.