Матрица коэффициентов парной корреляции

 

  x1 x2 x3 x4 x5 Y
x1 0,5662 0,8356 -0,4302 0,9094 -0,1501
x2 0,5662 0,1355 0,4683 0,7996 0,6609
x3 0,8356 0,1355 -0,6863 0,5900 -0,5123
x4 -0,4302 0,4683 -0,6863 -0,1380 0,8826
x5 0,9094 0,7996 0,5900 -0,1380 0,1019
Y -0,1501 0,6609 -0,5123 0,8826 0,1019

 

На главной диагонали данной матрицы находятся единицы, так как это коэффициенты корреляции каждого из факторных признаков с самим собой.

Рассчитаем определитель этой матрицы в Excel, воспользовавшись встроенной функцией МОПРЕД.

Легко убедиться, что определитель этой матрицы равен 0,000138, то есть очень близок к нулю. Следовательно, в данной системе факторов явно присутствует мультиколлинеарность. Поэтому все эти факторы нельзя включать в модель, а следует отобрать не более двух-трех из них.

Проанализировав коэффициенты парной корреляции, можно увидеть, что наиболее тесная связь между фактором x4 иy (то есть между доходом на 1 члена семьи и затратами на покупку непродовольственных товаров).Это вполне соответствует реальному содержательному смыслу этих показателей.

Следовательно, если включать в уравнение единственный, наиболее важный фактор, то в качестве этого фактора можно отобрать x4 , т.е.можно построить уравнение парной линейной регрессии, выражающее зависимость затрат на непродовольственные товары только от данного фактора (среднедушевого дохода семьи): y= a0 + a1 x4. Такое уравнение уже было построено.

Теперь рассмотрим, какие факторы можно включить в модель двухфакторной линейной множественной регрессии.

Коэффициенты парной корреляции между x1 и x5, а также между x1 и x3 превышают 0,8. Следовательно, эти факторы одновременно включать в модель не целесообразно.

Также очень высок (близок к 0,8) коэффициент корреляции между факторами x2 и x5. К тому же коэффициент корреляции между фактором x5 и yочень мал.

В целом, анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что наиболее целесообразно включать в модель следующие пары факторов: x2 и x3 , либо x2 и x4. Коэффициент корреляции между ними достаточно мал, а коэффициенты корреляции между каждым из них и результативным показателем y превышает коэффициент корреляции между ними. Факторы x1 и x5 включать в модель не целесообразно, так как – несмотря на то, что между ними коэффициент корреляции очень мал (r = - 1380), но коэффициент корреляции между x5 и y еще меньше (r = 0,1019)

Перед этим мы уже убедились, что уравнение регрессии, включающее два фактора x2 и x4, дает неудовлетворительный результат. Поэтому построим уравнение y= a0 + a1 x2+ a2 x3, выражающее зависимость расходов на товары длительного пользования от числа детей (x2 ) и совокупного дохода семьи (x3).

Заполним вспомогательную таблицу для расчета параметров этого уравнения (табл.2.8).

На основе итоговых сумм, рассчитанных в нижней строке таблицы 2.8., строим систему нормальных уравнений:

 

10a0+130a1+10a2=27,3

130a0+1886a1+136a2=406,3

10a0+136a1+20a2=18,3

 

Таблица 2.8.

Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения

y= a0 + a1 x2+ a2 x3

y x2 x3 x22 x32 x2x3 x2y x3y
0,8 4,8 0,8
0,5
2,5 37,5
1,5 4,5
27,3 406,3 18,3

 

Решаем систему нормальных уравнений методом определителей:

Матрица А (коэффициентов)

 

Для расчета ее определителя воспользуемся функцией МОПРЕД (которая находится среди встроенных математических функций в Excel).

Получаем Δ=19240

Заменяем последовательно каждый столбец этой матрицы столбцом свободных членов системы нормальных уравнений. Получаем еще три матрицы А0, А1, А2 и рассчитываем их определители.

 

матрица А0
27,3
406,3
18,3

 

Определитель матрицы Ao:D0=-590,8

матрица А1
27,3
406,3
18,3

 

Определитель матрицы A1:Δ1=5680

матрица А2
27,3
406,3
18,3

 

Определитель матрицы A2:D2=-20724

 

Затем находим параметры уравнения регрессии по формулам:

a0 = D0 / Δ = -0,03

a1 = Δ1/ Δ = 0,30

a2 = D2/ Δ = -1,08

 

Таким образом, построенное уравнение регрессии имеет следующий вид:

 

y=0,03+0,30x2-1,08x3

 

Теперь рассчитаем для этого уравнения ошибку аппроксимации и индекс детерминации. Предварительно построим вспомогательную таблицу для расчета этих показателей (табл.2.9).

Таблица 2.9

Вспомогательная таблица для расчета ошибки аппроксимации и индекса детерминации

 

Y x2 x3 yx=0,03+0,30x2-1,08x3 (y - yx)2
1,45 2,99 1,65 0,198
3,51 5,15 0,61 2,214
5,28 10,69 6,52 0,513
0,8 0,66 3,72 4,27 0,018
4,69 0,07 3,85 2,865
3,03 0,07 0,09 0,001
4,21 1,61 2,18 0,042
0,5 0,77 4,97 3,85 0,071
2,5 2,24 0,05 0,24 0,066
1,5 1,46 1,51 1,61 0,001
27,3 27,30 30,86 24,87 5,99

 

Как уже отмечалось, среднее значение показателя y – одинаковое для расчетных и фактических значений, так как их суммы совпадают. Поэтому в расчетах двух дисперсий вычитается одно и то же число y = 2,73 из расчетных и фактических значений признака.