Идентификация законов распределения величин по результатам измерений.

Глава 3. Обработка результатов измерений.

Методики выполнения измерений

Изменение метрологических характеристик СИ в процессе эксплуатации

 

Метрологические характеристики СИ могут изменяться в процессе эксплуатации. В дальнейшем будем говорить об изменениях погрешности Δ (t), подразумевая, что вместо неё может быть рассмотрена любая другая МХ.

Следует отметить, что не все составляющие погрешности подвержены изменению во времени. Среди инструментальных погрешностей есть много составляющих, практически не подверженных старению, например размер кванта в цифровых приборах.

Задача, решаемая при определении метрологической надежности СИ, состоит в построении математической модели для нахождения изменений МХ. Поскольку изменения МХ во времени – случайный процесс, то для построения математических моделей используется теория вероятностей.

 

 

Методика выполнения измерений (МВИ) представляет собой установленную совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение результатов измерений с гарантированной точностью в соответствии с принятым методом.

Разработку МВИ выполняют на основе исходных данных, включающих:

- назначение, где указывается область применения, наименование измеряемой величины и её характеристики, а также характеристики объекта измерений, если они могут влиять на погрешность измерений;

- требования к погрешности измерений;

- условия измерений;

- вид индикации и формы представления результатов измерений;

- требования к обеспечению безопасности выполняемых работ;

 

 

3.1. Выбор количества измерений.

 

Цель любого измерения – это получение результата измерений с оценкой действительного значения измеряемой величины. Для достижения конечной цели проводится обработка результатов измерений. При этом выбор методов обработки результатов измерений определяется следующими факторами:

- форма закона распределения результатов измерений;

- применяемый метод измерений (прямой, косвенный);

- количество выполненных измерений искомой величины.

В метрологической практике используются следующие законы распределения:

 

 

1. Равномерный закон. Используется в случаях когда результаты измерений сосредоточены на интервале от “a” до “b” при постоянной величине плотности на этом интервале и при равенстве его нулю вне указанного интервала. Плотность распределения записывается в виде:

 

F(x) =

F(x)

График имеет вид:

 

a b

 

Равномерный закон распределения обычно применяют при выполнении равномерного квантования непрерывных величин по уровню в цифровых измерительных приборах. Для этого случая количество измерений около 6.

1.Для средств измерений, у которых погрешности изменяются в зоне нижней и верхней границ поля допуска используют закон, у которого плотность распределения имеет вид:

 

, F(x)

 

 

 

Количество измерений около 10.

 

2.К наиболее часто используемых законам относится нормальный закон распределения, плотность которого имеет следующий вид:

 

 

 

Где - математическое ожидание величины ,

- среднее квадратическое отклонение необходимое число измерений при нормальном законе распределения случайной величины зависит от погрешности измерения, и коэффициента вариации, определяемой выражением:

, или

Например, = 0,33…0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному распределению.

Следующим (третьим) параметром, определяющим число измерений, является доверительная вероятность, т.е. вероятность того, что результата измерения находится в интервале:

 

 

- заранее заданная произвольно малая величина.

Таким образом, для определения числа измерений необходимо знать три параметра – погрешность измерения, коэффициент вариации и доверительную вероятность.

Если распределение погрешности подчиняется нормальному закону это уже определяет и доверительную вероятность. Например, при значение P = 0.68, при значение P = 0.95, а при значение P = 0.99, где - СКО.

P = 0.95 Таблица

Погрешность измерения	Коэффициент	вариации
0,2	0,25	0,3	0,35
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25

Из таблицы видно, что на практике число достоверных измерений обычно берутся в пределах до 20…30 измерений.

Если же закон распределения заранее неизвестный, то число измерений должно увеличиваться во много раз для нахождения этого закона. При этом по результатам измерений рассчитывают среднее квадратическое значение, которое является оценкой математического ожидания величины, а также статическое среднеквадратическое отклонение (СКО).

 

 

Пусть проведено П = 20 независимых измерений некоторой величины Х, рассматриваемой как случайной. Например, русть имеются результаты измерений постоянного электрического напряжения U, имеющие значения от 48В до 52В с интервалом 0,5В.

Составим вариационный ряд в виде последовательности измеренных значений величин, расположенных в порядке возрастания от наименьшего к наибольшему. Данные приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер измерения
Напряжение		48,5		49,5		50,5		51,5
Количество

 

 

Общее количество измерений равно 20.

Приведем методику идентификации законы.

1. Весь диапазон измеренных величин и разбиваем на К интервалов, количество которых определяем по формулам:

количество измерений.

можно пользоваться любой из этих формул. При больших n целесообразно использовать формулу 1.

удобном количестве интервалом округляем до целого числа.

рассматриваемого случая К = 5

2. Ширина интервалов определяется из выражения = 0,8B

3. Находим количество попаданий величины U в каждый интервал -

4. Рассчитываем вероятность попадания величины U в каждый интервал

= , при этом .

Для рассматриваемого примера определенные выше параметры сведены в таблице 2.

Таблица 2

	48…48.8 48.4	48.8…49.6 = 49.2	49.6…50.4	50.4…51.2 = 50.8	51.2…52
	0.1	0.15	0.25	0.35	0.15

 

5. Определим среднее арифметическое значение

 

 

где i = 1,2,3,4,5

6. Рассчитываем статистическую дисперсию

 

7. Статистическое среднеквадратическое значение

 

=

 

8. Находим теоретическую вероятность попадания случайной величины в каждый из разрядов по формуле:

 

= ) – Ф

где Ф ( ) – табулированная функция Лапласа.

.

 

 

В результате расчетов должно получится три условия:

1. Сумма статистических вероятностей должно быть равной единице.

2. Математическое ожидание и среднее арифметическое значение должны совпадать, т. е. .

3. Теоретическая и статистическая дисперсии должны совпадать, т.е. .

 

 

9. В качестве меры расхождения между теоретическими и статистическими вероятностями используется критерий .

 

 

n,k – число измерений и число разрядов статистического ряда соответственно

10. Находим число степеней свободы

 

Берем математические таблицы для значений в зависимости от r определяем вероятность сходимости эмпирического и теоретического законов распределения.