XXX 333

Первое — римское тридцать, второе — арабское триста трид­цать три. И задайте вопрос: «Чем отличается принцип записи мно­гозначных чисел римскими и арабскими цифрами?» Скорее все­го, вы сразу не услышите тот ответ, который бы хотели получить. Тогда, указывая на отдельные цифры римского числа, спраши­вайте: «Что (какое количество) обозначает эта цифра?» Получите ответ: «Десять!» — «А эта цифра?» — «Десять!» — «А эта?» — «Де­сять» — «Как получается значение данного трехзначного числа?» — «Десять прибавить десять, прибавить десять, получается тридцать!» « А теперь переходим к числу 333. Снова задаем вопросы: «Какое количество в записи числа обозначает первая цифра справа?» — «Три единицы!» — «А вторая цифра?» — «Три десятка!» — «А третья цифра?» — «Три сотни!» — «А как получается общее значение числа»— «К трем единицам прибавить три десятка и прибавить три сотни получится триста тридцать три!»

Из этого диалога следуют все правила, которые учитель должен сообщить ученикам. В римском способе записи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции этой цифры. В арабском же способе значение, которое несет каждая цифра в записи числа, зависит не только от того, какая это цифра, но и от позиции, которую она занимает в числе. Сделав ударение на слове «позиция», учитель сообщает, что римский способ записи чисел называется непозиционным, а арабский — пози­ционным. После этого можно ввести термин «система счисления».

Система счисления — это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Теперь нужно дать понять ученикам, что позиционных систем счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом — множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр) называется основанием системы счисления. Задайте вопрос: «Почему арабская система называется десятичной систе­мой счисления?» Наверняка услышите в ответ про десять цифр в алфавите. Делаем вывод: основание арабской системы счисления равно десяти, поэтому она называется десятичной.

Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления. Системы с основанием не больше 10 используют толь­ко арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступают латинские буквы в алфавитном порядке.

Далее нужно научить учеников записывать натуральный ряд чисел в различных позиционных системах. Объяснение следует проводить на примере десятичной системы, для которой вид на­турального ряда чисел им хорошо известен:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 19, 20, ..., 99, 100, 101, ... 166

По такому же принципу строится натуральный ряд и в других системах счисления. Например, в четверичной системе (с основа-4):

l, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 111, ..., 333, 1000, ...

Для указания на основание системы, к которой относится число, вводим индексное обозначение. Например, 36₈ указывает на это число в восьмеричной системе счисления, Следует подчеркнуть, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Еще одно важное замечание: ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десятичные. Например, нельзя называть восьмеричное число 36₈ как тридцать шесть! Надо гово­рить: «Три —шесть»

Сущность позиционного представления чисел отражается в форме записи чисел. Снова для объяснения привлекаем десятичную систему.

5319,12 = 5000 + 300 +1 0 + 9 + 0,1 + 0,02 = 5 *10³ + 3* 10 ² + 1* 10 ¹ + 9 + 1* 10 ^-1 + 2 * 10 ^-2

Последнее выражение и называется развернутой формой записи числа.

Поскольку нам хорошо знакома лишь десятичная арифметика, то любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.

Объяснение способов перевода следует начать с перевода десятичных чисел в другие системы счисления. Делается это просто нужно перейти к записи развернутой формы числа в десятичной системе.

1753 ₈ = (1 *10³ + 7* 10² + 5* 10¹ + 3)₈ = ( 1 * 8 ³+ 7 * 8 ² + 5 * 8¹ + 3)₁₀

Для вычисления значения числа по его развернутой форме за­писи существует удобный прием, который называется вычислительной схемой Горнера. Суть его состоит в том, что развернутая запись числа преобразуется в эквивалентную форму с вложенными скобками. Например, для рассмотренного выше восьмеричного числа это выглядит так:

1753₈ = (1х8³ + 7х8² + 5х8¹+ 3)₁₀ = ((1x8 + 7)х8 + 5)х8 + 3

Нетрудно понять, что если раскрыть скобки, то получится то же самое выражение.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления — задача более сложная. В принципе, все происходит через ту же самую развернутую форму записи числа.. Только теперь нужно суметь десятичное число разложить в сумму по степеням нового основания п 10. Например, число 85₁₀ по степеням двойки раскладывается так:

85₁₀ = 1х2⁶ + 0х2⁵+ 1х2⁴ + 0х2³+ 1x2² + 0x2 + 1= 1010101₂.

Однако проделать это в уме довольно сложно. Здесь следует показать формальную процедуру (алгоритм) такого перевода. Опи­сание алгоритма можно прочитать в учебнике или пособии . Там же дается математическое обоснование алгоритма. Разбор этого обоснования требует от учеников определенного уровня математической грамотности и возможен в варианте углубленного изу­чения базового курса.

В рамках минимального объема базового курса не обязательно изучать приемы перевода дробных десятичных чисел в другие си­стемы счисления.

Применение двоичной системы счисления в ЭВМ может рас­сматриваться в двух аспектах:

1) двоичная нумерация;

2) двоич­ная арифметика, т. е. выполнение арифметических вычислений над двоичными числами. С двоичной нумерацией ученики встретятся в теме «Представление текста в компьютерной памяти». Рассказы­вая о таблице кодировки ASCII, учитель должен сообщить учени­кам, что внутренний двоичный код символа — это его порядко­вый номер в двоичной системе счисления.

В рамках базового курса достаточно ограничиться рассмотрением вычислений с целыми двоичными числами. Приемы выполнения вычислений с многозначными числами в двоичной системе аналогичны десятичной. Иначе говоря, процедуры вло­жения, вычитания и умножения «столбиком» и деления «угол­ком» в двоичной системе производятся так же, как и в десятич­ной.

В базовом курсе можно не рассматривать сложные примеры деле­ния многозначных двоичных чисел. Хотя способные ученики могут справиться и с ними, поняв общие принципы.

Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным представлением числа. При переводе числа из одной системы в другую, одной шестнадцатеричной цифре соответствует 4 – разрядный двоичный код. Это соответственно отражено в двоично-шестнадцатеричной таблице.

Преимущество 16-ричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного.

Рассматривая структуру памяти компьютера, принципы адресации байтов памяти, можно обсудить с учениками следующий вопрос: как связан диапазон адресов с разрядностью адреса.

Примеры решения задач

Ниже рассмотрены решения некоторых задач, взятых из Семакина Задачник практикум

Пример 1. Перевести в десятичную систему числа: 221₃; Е41

Решение:

221₃ =(2хЗ + 2)хЗ + 1= 25₁₀;

Е41А,12₁₆ =((14х16 + 4)х1б+ 1)х1б + 10+ (2/16 + 1)/16 = 58394 + 0,0703125 = 58394,0703125₁₀.

Пример 2. Перевести шестнадцатеричные числа в восьмеричную систему.

Решение:

Конечно, такой перевод можно производить рез десятичную систему по схеме 16 => 10 => 8. Но это долго и неудобно. Лучше выполнять такой перевод по схеме 16 => 2 => 8. В этом случае ничего не требуется вычислять, все сводится к формальной перекодировке. На втором шаге следует сгруппировать двоичные цифры тройками.

Пример 3. Найти основание р системы счисления и цифру n если верно равенство: 33m5n + 2n443 = 55424. Пример выполнен в системе счисления с основанием р, т — максимальная цифрам этой системе. Решение. Запишем столбиком данное сложение: