МОДЕЛИ МИГРАЦИИ
Пример
Интенсивность заражения | 0.2 |
Интенсивность выздоровления | 0.02 |
Начальное число больных | 0.005 |
не болевшие больные выздоровевшие
Численное решение дифференциальных уравнений и систем. Проще всего воспользоваться методом Эйлера. Уравнение с одной неизвестной функцией
заменяется конечно-разностным уравнением
Аналогично, система дифференциальных уравнений
заменяется системой конечно-разностных уравнений
Применительно к рассматриваемой модели эпидемии система конечно-разностных уравнений имеет вид
при начальном условии P1(0) = 0; P2(0) = 0.
1. Рассмотрим вначале два множества (кластера), численности которых x1 и x2. Введем характеристики подвижности a1 и a2: подвижность a1 есть отношение величины потока (числа перемещающихся в единицу времени) покидающих множество 1 и направляющихся в множество 2; подвижность a2 определяется аналогично. Динамика численностей описывается дифференциальным уравнением
Ясно, что x1 + x2 = N = const. Равновесные численности (dx1/dt = 0, dx2/dt = 0):
2. Пусть число кластеров равно m, их численности xi, i =1, …, m, подвижности теперь имеют направления: aij, i, j =1, …, m, i ¹ j.
Положим
aii = (1)
определим матрицу A= (aij)m´ m и вектор-строку x = (xi)1´ m. В этих обозначениях
.
Равновесные численности должны отвечать системе xA= 0; но матрица A — вырожденная (A1=0), и если вектор x>0— равновесный, то и вектор kx — также равновесный при любом k >0. Поэтому система xA= 0определяет лишь равновесные пропорции, а для равновесных численностей следует задать еще и общую численность
3. Помимо m множеств рассматривается еще и внешняя среда. Она предполагается «большой» в том смысле, что число объектов в ней велико (≈ ∞), подвижность в направлении рассматриваемых множеств ничтожна (≈ 0), так что к i-му кластеру направлен поток с конечной интенсивностью li , а от i-го кластера во внешнюю среду направлен поток, определяемый подвижностью ai, m + 1; ни тот, ни другой поток не изменяют численности объектов во внешней среде.
С учетом обозначения (1) теперь динамика численностей описывается системой уравнений
При этом суммы в (1) должны содержать слагаемые ai, m + 1. Ввод в рассмотрение вектора-строки l = (li)1´ m позволяет описать динамику равенством
Равновесные численности теперь описываются системой l+xA= 0.
Пример. Пусть m = 3, a12 = 0.1, a13 = 0.2, a23 = 0.4, a24 = 0.3, a31 = 0.5; таким образом,
Входные потоки: l1 = 400, l3 = 200, так что l = (400, 0, 200). (Не указанные числовые значения равны нулю.) Равновесные значения численностей определяются условием
Решением этой системы уравнений служат равновесные численности
x1 = 1400; x2 = 2000; x3 = 7600.
Решение представлено на рисунке. Над кластерами жирным шрифтом показаны равновесные численности, над дугами показаны равновесные интенсивности потоков.