Метод математической гипотезы

С первых шагов натурфилософских построений логика и математика являются двумя самыми надежными инструментами исследователя. Однако логика содержит в своем составе абсолютно математические компоненты, которые называются формальной логикой. Эта часть логики не претендует на поиск какой-то истины, лежащей вне ее компетенции, и дает нам полезный аппарат преобразования одних логических высказываний в другие, позволяет упрощать запутанные речевые тексты. Аналогичным образом математика не свободна от логических компонентов. С древних времен она включала в себя доказательные средства, в частности аксиоматический подход пронизан логическими понятиями.

Традиционная логика ограничивалась изучением самых общих принципов гипотетических умозаключений и почти совершенно не вникала в логическую структуру систем, используемых в развитых эмпирических науках. Однако в таких науках, как физика, имеют дело не с изолированными гипотезами, а с их системой.

Совершенно иначе обстоит дело с абстрактными математическими теориями, аксиомы которых не допускают непосредственной эмпирической проверки. Если принципы и законы эмпирических наук уточняются и изменяются под влиянием опыта и практики, то при выборе математических аксиом руководствуются требованиями логики развития, полагает Г.И.Рузавин. (Рузавин Г.И. Философия науки. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 400с.)

Например, Н.И.Лобачевский выбрал новую аксиому о параллельных и создал новую геометрию только после того, как в течение многих лет безуспешно доказать аксиому о параллельных. Напомним суть открытия Лобачевского: через данную точку к прямой на плоскости можно провести, по крайней мере, две прямые, параллельные данной. В геометрии Евклида допускается единственная параллельная. Заменив аксиому противоположным постулатом, Лобачевский из новой системы аксиом получил следствия, которые, хотя и противоречили интуитивным пространственным представлениям, но оказались логически непротиворечивыми. Например, в геометрии Евклида сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, а в геометрии Лобачевского должна быть меньше этой величины. Впоследствии были построены и другие системы неевклидовых геометрий.

 

Итак, разновидностью гипотетико-дедуктивного метода является метод математической гипотезы, который используется как важнейшее эвристическое средство для открытия закономерностей в естествознании. Обычно в качестве гипотез здесь выступают некоторые уравнения, представляющие модификацию ранее известных и проверенных соотношений. Изменяя эти соотношения, составляют новое уравнение, выражающее гипотезу, которая относится к неисследованным явлениям. Так, М.Борн и В.Гейзенберг приняли за основу каноническое уравнение классической механики, однако вместо чисел ввели в них матрицы, построив таким способом матричный вариант квантовой механики.

Если такие физические понятия, как материальные частицы и волны мы еще можем себе представить, то трудно вообразить микрообъекты квантовой механики, которые одновременно обладают как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Ведь с точки зрения классической физики они выступают как объекты совершенно противоположными, несовместимыми свойствами, и поэтому трудно представить, как они совмещаются в едином наглядном образе. Вот почему современная физика все больше отказывается от наглядных образов и все чаще обращается к абстрактным объектам и математическим методам описания.

Одним из таких методов и является математическая гипотеза, которая строится на основе экстраполяции уравнения, описывающего некоторый процесс, на другой процесс. Если из опыта нам стало известно, что изученное явление зависит от ряда переменных и постоянных величин, связанных между собой приближенно некоторым уравнением, то видоизменяя, обобщая это уравнение, можно получить другие соотношения между переменными. В этом и состоит математическая гипотеза, или экстраполяция. Она приводит к выражениям, совпадающим или расходящимся с опытом, и соответственно этому применяется дальше или отбрасывается.

В качестве примера можно привести математические гипотезы, с помощью которых была построена квантовая механика. Одна из них была выдвинута М.Борном и В.Гейзенбергом, которые за основу взяли каноническое уравнение Гамильтона для классической механики. Они предположили, что форма таких уравнений должна быть одинаковой и для атомных частиц, но вместо чисел они ввели в уравнение другие математические объекты, а именно матрицы. Так возник матричный вариант квантовой механики.

В отличие от них Э.Шредингер исходил из волнового уравнения физики, но по-иному стал интерпретировать его члены. Для этого он использовал предположения Луи де Бройля, что всякий материальной частице должна соответствовать волна определенной длины. Посредством такой интерпретации возник волновой вариант квантовой механики. Впоследствии удалось доказать эквивалентность обоих вариантов.

Гипотетический момент состоит в том, что некоторую закономерность, выраженную в виде математического уравнения, ученые перенесли с изученной области явлений на неизученную, то есть использовали прием, который принято называть экстраполяцией.

При этом неизбежно приходится модифицировать прежнюю гипотезу, а именно, либо изменять тип, либо общий вид уравнения, либо в него подставить математические величины другого рода (или делать и то и другое). Либо, наконец, изменять граничные и предельные условия.

Чтобы проверить следствия из гипотезы, необходимо определенным образом интерпретировать их, т.е. придать соответствующим понятиям и суждениям эмпирическое значение. Такая интерпретация составляет едва ли не самую трудную часть исследования. Легче открыть математическую форму, необходимую для какой-нибудь основной физической теории, чем найти ее интерпретацию, пишет выдающийся английский физик П.Дирак.

Причина этого состоит в том, что в математике число основных идей, из которых происходит выбор, весьма ограниченно, тогда как число физических интерпретаций значительно больше. Одна и та же математическая структура (уравнение, формула, функция) может выражать самые различные конкретные зависимости между явлениями и процессами. То, что математический формализм устанавливается раньше, чем находится его содержательное истолкование, свидетельствует о большой эвристической ценности математики в современном научном познании.