Проблема. Проблемный метод

Проблема – форма мысли, выражающаяся в виде вопроса или комплекса вопросов, возникших в ходе познания, в котором формулируется осознанное противоречие между явлениями, фактами и их интерпретацией. В настоящее время ведущие университеты мира концентрируется на исследованиях способов решения проблем, находя в этом ключ к творческому мышлению.

А.Эйнштейн и Л.Инфельд говорили, что сформулировать проблему часто важнее и труднее, чем решить ее. Как только проблема осознана, творческая часть работы во многом завершена. По своим основаниям все проблемные ситуации подразделяются на явные и неявные.

Согласно М.Полани, явное знание это то, что мы изучаем через язык или речь. Это «книжные знания»: объективные рациональные, теоретические знания универсальных истин, применяемые не здесь и сейчас, а везде и всегда. Явное знание – это не «знаю как», а «знаю что», оно дополняет «знаю как». Его можно кодифицировать и записать. К явным проблемам относятся показательные задачи (вырожденный случай проблем): указан вопрос, ответ на который нужно получить, известен метод решения и известно, что считать решением (ответ). Такого рода задачи с максимальной информацией по всем трем параметрам и соответственно с минимумом неопределенности часто применяют в обучении. Далее следует уровень проблем, когда задан вопрос, ясен метод решения и неизвестен только результат решения. Такого рода задачи тренируют ум, вырабатывают сообразительность, умение рассуждать последовательно и ясно. Проблемы третьего типа можно назвать риторическими: они подобны риторическим вопросам, ответ на которые само собой разумеется. Это проблемы-головоломки: сформулирован явный вопрос и известно, что будет считаться его приемлемым решением. Все сводится к отысканию метода, с помощью которого из начальных условий может быть получен ответ, уже известный в общих чертах. Например, И.Ньютон утверждал, что свет – это поток материальных частиц, корпускул. Эта теория господствовала какое-то время и определяла некоторые проблемы, связанные со светом. Из этой теории следовало, что существует давление световых частиц, ударяющихся о твердые тела, было понятно, как обнаружить это давление. Оставался открытым вопрос о его величине, о том конкретном очень тонком эксперименте, который позволил бы установить подобного рода ничтожную величину. Вопрос имел все типичные свойства риторической проблемы. Еще один срез явных проблем – это так называемые классические проблемы. Это подлинно научные творческие проблемы, требующие не только определения общих контуров решения, но и открытия того метода, с помощью которого это решение может быть достигнуто. Когда русский ученый-физиолог И.П.Павлов занялся изучением рефлексов, уже существовали и понятие рефлексов, и теории, объяснявшие с его помощью поведение животных. Согласно этим теориям, животные – это машины, которые по заложенной схеме реагируют на внешнюю среду. Павлову предстояло не только ответить на вопрос, что представляет собой рефлекс, но и разработать сами экспериментальные методы, применимые для изучения рефлексов. Построенная им теория безусловных и условных рефлексов была развернутым решением проблемы природы рефлексов живых существ.

Существует несколько типов неявных проблем. Согласно М.Полани, неявное знание это то, что мы изучаем через участие в жизни внешнего мира. Оно субъективно; это подлинное знание о том, что есть здесь и сейчас; это знание, полученное на практике. Оно включает в себя умственные модели: парадигмы, взгляды и убеждения, которые руководят нашими действиями. Оно также включает в себя знание через действия: наши навыки, умения и ноу-хау. Важно, что в неявное знание также входят наши чувства, наши надежды, желания, мечты и амбиции.

Первый тип неявных проблем, когда есть метод, есть решение, но нет самого затруднения, которое удалось бы преодолеть с помощью данного метода. Другой тип – наличие метода, но отсутствие сформулированной проблемы и ее решения. Такие случаи имеют место в абстрактной математике, когда ученый строит чистое, лишенное содержательной интерпретации исчисление, и только позднее обнаруживается, что оно годится для решения каких-то содержательных интересных проблем. Пример неявных проблем дает история исследований света великим немецким поэтом И.В.Гете, которому не нравилось решение, найденное И.Ньютоном. Гете посчитал ошибкой, что при изучении света используются отверстия, выделяющие узкий пучок света, призмы, разлагающие световой луч. Гете полагал, что свет следует наблюдать непосредственно таким, как он существует в природе, без всяких искажающих его свойства приспособлений. Поставив задачу опровергнуть И.Ньютона, он построил свою собственную теорию световых явлений. Эта теория подверглась критике со стороны английских физиков. Когда полемика отошла в прошлое, стало ясно, что Гете решал и довольно успешно совсем не ту задачу, которую он ставил перед собой. Его собственная теория касалась на самом деле совсем другого класса физических явлений: она давала не экспериментальный, количественный анализ световых явлений, а качественное, без чисел, описание восприятия света и цвета человеческим глазом. Еще один класс проблем – это антиномии и апории.

Две формы знаний (явное и неявное) работают вместе, они взаимодействуют, взаимозаменяются в процессе творческой деятельности. Они преобразуются друг в друга в результате четырех процессов, называемых конверсией знаний:

-социализация: неявное переходит в неявное, знанием делятся. Эту форму обучения называют ученичество. Это обучение по ходу работы, умственные модели и технические навыки как бы поглощаются самим процессом того, что называют «делиться опытом»;

-экстернализация: неявное знание переходит в явное. Это квинтэссенция передачи знаний: частное мышление возможно передавать без посредства опыта. Простейший пример – документальное фиксирование процесса: письмо является искусством преобразования неявного знания в явную информацию. Но экстернализация может принимать и другие формы. Метафора, образность, гипотеза, аналогия, моделирование – все это также способствует экстернализации. Данный процесс запускают рефлексия и диалог;

-комбинация: явное знание переходит в явное, это систематизация концепций, создание системы знаний. Документы, деловые совещания, сети и базы данных – все это помогает сочетать различные компоненты явного знания;

-интернализация: явное знание переходит в неявное, запечатление явного знания в неосознанной компетенции или переход его в основу всех ценностей. Хороший способ интернализовать знания – передать опыт, обучать через действия. Полезно и документирование, играют свою роль и рассказы очевидцев.

Вернемся к проблемам. Из истории античной философии известно сочинение древнегреческого философа Горгия (ок.475 – ок.375) «О несуществующем, или О природе». Вот его суть. Горгий приводит три тезиса: 1) ничто не существует; 2) если что-то и существует, его нельзя понять; 3) если это и можно понять, то нельзя передать и объяснить другом. При доказательстве первого тезиса, он говорил, что если не-сущее существует, то нечто должно и существовать и не существовать: поскольку оно не мыслится сущим, оно не должно существовать; поскольку же оно есть не-сущее, то в таком случае оно все-таки есть. Однако совершенно нелепо чему-нибудь одновременно быть и не быть. Следовательно, не-сущее не существует. Если же признать, что не-сущее существует, то не должно существовать сущее, потому, что это не сущее и не-сущее противоположны одно другому; и если не-сущему свойственно бытие, то сущему должно быть свойственно не-бытие. Но сущее-то существует, следовательно, не должно существовать не-сущее.

Гегель увидел в данном рассуждении полемику с наивным представлением, будто все, что человек ощущает, или о чем он размышляет, на самом деле реально существует. Однако наши чувства могут обманывать нас, а размышлять можно и о том, чего вообще нет.

Итак, антиномии представляют собой два несовместимых утверждения, одно из которых отрицает другое. Апории отличаются тем, что они выдвигают и обосновывают положение, которое явно противоречит нашему опыту. Такого рода апории обосновывал современник Горгия древнегреческий философ Зенон. Это апории «Стрела», «Ахилл и черепаха», «Стадион». Апории встречаются и в современной науке. Всякий раз, когда принятая и хорошо апробированная теория вдруг резко расходится с достаточно твердо установленными фактами, можно говорить о возникновении апории. Например, мы не можем не признать факт устойчивости внешнего мира. Одни и те же вещества постоянно имеют одни и те же свойства, образуют одни и те же кристаллы, возникают одни и те же соединения. И после многих изменений, вызванных воздействием извне, атом железа останется тем же атомом с теми же свойствами. Устойчивость живых организмов, образование сложнейших форм, которые к тому же способны существовать всегда лишь как целое – это явления одного и того же рода. Но с точки зрения механики И.Ньютона, подобная устойчивость в принципе не достижима, она выглядит чудом, которое невозможно объяснить. Это противоречие между теоретическим рассуждением и опытом – типичная апория. Оно обсуждалось в 1922 году Н.Бором и В.Гейзенбергом: затруднения такого рода послужили причиной отказаться от классической механики при объяснении внутреннего строения атома.

Последний тип неявных проблем – софизмы античных философов. Предшественницей софизмов была парабола, которая в данном случае означает не определенной формы замкнутую кривую, а иносказание, нравоучение. В притче Ф.Кафки «Перед параболами» говорится о том, что слова мудреца подобны параболам. Когда мудрец говорит о том, что надо идти вот туда, то он не имеет в виду, что ты должен перейти на другую сторону. Нет, он имеет в виду некое неопределенное «там», нечто, чего мы не знаем, что и он сам не мог бы точнее обозначить. Кроме софизмов и парабол это также мифы, притчи, сказки. Здесь нет самой проблемы как четко сформулированного вопроса, требующего исследования, есть только какое-то затруднение, нет намека на метод, как можно было бы справиться с ним, и нет решения. В этой связи такого рода проблемы довольно легко не заметить, пропустить, отнестись к ним поверхностно, как к чему-то, недостойному серьезного внимания.

 

Э.Кирхлер и А.Шротт, ссылаясь на работу К.Дункера (1945) пишут: «Проблема возникает, когда человек имеет цель, но не знает, как эту цель достичь. Когда человек не может перейти из существующей ситуации в желаемую при помощи простых действий, то здесь может помочь мышление. Задача такого мышления в придумывании некоторых действий, которые могут стать посредником между существующей и желаемой ситуацией». (Кирхлер Э., Шротт А. Принятие решений в организации. – Х.: Изд-во Гуманитарный центр, 2004. – 160с., с. 20).

Таким образом, проблема – это не некая путаница, проблемами обозначаются такие задачи, для которых есть правильное решение. Достижение цели и качество решения также можно легко проверить. Формально о проблеме говорят, когда начальное состояние А должно переходить в желаемое целевое состояние Я, при этом необходимо преодолеть барьер Б, и если такого барьера нет, а начальное состояние легко переходит в конечное – нет и проблемы или она является надуманной. Классическим примером очевидных проблем являются паззлы, когда необходимо объединить несколько частей целого (начальное состояние А) и перевести их в целевое состояние (целевое состояние Я). Как только мы начинаем понимать, как эти части подходят друг к другу (барьер Б), он сразу попадает в целевое состояние Я. Постановка задачи понимается быстро, обработка проста и не требует предварительных знаний. Все критерии очевидной проблемы присутствуют в задаче, именуемой как Ханойские башни. Вот эта задача: три разных по величине диска надеты на один из трех шестов в следующей последовательности – большой снизу, затем средний и сверху меньший; следует переместить диски таким образом, чтобы они в той же последовательности оказались на третьем шесту; при этом допускается за один раз перемещать только один диск, а больший диск ни в коем случае не должен лежать на меньшем.

Чем сильнее отклонение от критериев очевидной проблемы, тем больше необходимо преодолеть частичных этапов для достижения решения. Признаки сложной проблемы таковы:

-многоаспектность. Многоаспектность означает, что при одной проблеме следует учитывать несколько аспектов одновременно. Трудности возрастают только тогда, когда для решения проблемы необходимо одновременно учитывать много аспектов, но не тогда, когда в наличии просто несколько аспектов. Например, при разработке нового продукта мы должны учитывать и его качество, и сроки, и доступность сырья и компонентов, и пути сбыта, затраты на рабочую силу. Многоаспектности нет, когда все эти аспекты имеются в наличии, но для успешного решения проблемы важен только один из них;

-связанность. Если отдельные аспекты проблемы оказывают влияние друг на друга, то говорят о связанности. Так, цена и спрос зависят друг от друга, так как увеличение цены может привести к понижению покупательского интереса;

-динамичность. При динамичных проблемах ситуация меняется также и без вмешательства извне, что совсем не означает, что внешнее вмешательство не оказывает влияния. Примеры – уровень рождаемости или возраст населения и последствия влияния этих факторов на спрос потребителей;

-множественность целей, она имеет место, если внутри проблемы имеется не одна цель, а несколько. Различные цели могут часто противоречить друг другу. Например, низкая цена и высокое качество могут быть такого рода целями. В данном случае для стимулирования продаж необходимо стремиться реализовать обе цели;

-неопределенность. Если достигаемые цели формулируются нечетко, то проблема получается неопределенной. Неопределенная цель может иметь место в том случае, когда требуется быть успешным, а конкретные критерии для успеха не определены.

Реальную трудность проблемы составляют не только объективные критерии. Мы должны вначале разработать субъективное представление для возможности решения проблемы: многие важные объекты и операции представляются ментально. В таком случае возникает «пространство проблемы», которое и определяет степень субъективной трудности. При объективно одинаковых требованиях, вследствие различных ментальных представлений, обусловленных различными «внешними оболочками» содержания, могут возникать явно разные проблемы, которые будут обладать различной трудностью решения и тем самым различной вероятностью решения. Так возникают «изоморфные проблемы». Примером такой проблемы является так называемая проблема монстров, которую приводят Э.Кирхлер и А.Шротт, ссылаясь на работу С.Робертсона (2001). Вот ее описание.

Три монстра с пятью руками Вом, Мук и Цон держат три хрустальных шарика – маленький, средний и большой. Вом держит все три шарика, а Мук и Цон – ни одного. Магический ритуал требует, чтобы монстры менялись шариками, пока Цон не будет держать все три шарика. Следует учитывать ряд правил. Шарики менять владельцам можно только тогда, когда один монстр смиренно попросит его у другого монстра: при каждом движении можно просить только одного монстра; монстр, который уже держит в своих руках один или более шариков, может попросить только меньший; нельзя просить шарик у монстра, который имеет самый маленький шарик.

В случае Ханойской башни и проблемы монстров объективно представлена похожая проблема, но она имеет различные субъективные пространства проблемы. Проблема монстров кажется более отдаленной от реальности, произвольной, вымышленной. Правила не совсем очевидны, проблема труднее, но – рассматривая абстрактно – решение происходит по тем же этапам. Проблема монстров нагружает рабочую память сильнее, так как она кажется новой и необычной. К тому же здесь вряд ли возможна связь с уже известными правилами, либо использование эквивалентных правил, пишут Э.Кирхлер и А.Шротт, ссылаясь на С.Робертсона. (указ. соч., с. 27)

Основу проблемного метода составляет логическая операция абдукции. Абдуктивная схема научного открытия такова:

-наблюдаются факты а, б, в, …;

-если бы имела место гипотеза Г, то она непротиворечиво объясняла бы эти факты;

-следовательно, есть основание предполагать, что именно гипотеза Г позволяет непротиворечиво объяснить факты.

Считается (в этом был убежден К.Поппер), что проблематизация (выявление проблемы) позволяет наращивать научно-теоретический ряд, составляющий объем научного знания. В этой связи рассмотрим данный вопрос более подробно.

В философию проблемный метод был привнесен в эпоху античности. Парменидом и Зенон, указав на противоречия в понимании механического движения, сформулировали парадокс о том, что движения вообще нет (стрела не летит, а застыла на месте). Наиболее яркими и эффектными формами выявления проблем стали апория, антиномия и парадокс, где апория – неразрешимая проблема; антиномия – противоположность двух взаимоисключающих положений, каждое из которых может быть доказано на основе одного и того же закона, что свидетельствует о противоречии в нем; парадокс – высказывание, которое не согласуется с общепринятой теорией.

Проблемный метод – это метод познания, он применяется автором той или иной концепции для того, чтобы показать, что завершенных форм знания не существует, что новое знание обладает не менее сильными потенциями, чем устоявшаяся система. И в этом месте, в зазоре между старым и новым, возникают апории, парадоксы и антиномии. Проблемный метод выступает предпосылкой построения научно-теоретического ряда, и в качестве такового ему нет альтернативы. Проблемный метод дополняется методом истинностной интерпретации, суть которой в том, что неразвитая теория переводится в контекст наиболее развитой теории. В результате она освобождается от своих моментов, не прошедших тест на истинность.

Преимущество проблемного метода убедительно показали такие разные философы, как К.Поппер, Дж.Дьюи, М.Фуко. Относительную непротиворечивость теорий, отношение развитой теории к менее развитой позволяет установить метод интерпретаций. Например, сама по себе классическая физика несостоятельна, ибо она не в состоянии представить, например, релятивистские эффекты в адекватном их природе виде. В составе научно-теоретического строя классическая физика рассматривается уже не как автономная теория, а в качестве представления релятивистских эффектов в случае, если скорости физических объектов малы по сравнению со скоростью света в вакууме. Теперь нет оснований утверждать, что релятивистская физика превосходит классическую физику по степени своей истинности.

Отсюда следует, что метод истинностной интерпретации (она вполне возможна как соответствие между фрагментами двух теорий) является способом построения научно-теоретического строя. А такое построение актуально для любой науки, полагает В.А. Канке. (Канке В.А. Общая философия науки, с. 145).

В математике существует довольно четкая грань между проблемами еще не решенными и неразрешимыми в принципе, пишет В.Л.Успенский. (Успенский В.Л. Апология математики, с 77). Пример еще не решенной проблемы таков: есть ли жизнь на Марсе или других планетах? Пример нерешимой проблемы – указать целое число, квадрат которого равен 17; указать наибольшее целое число. К числу нерешенных проблем долгое время относилась проблема Ферма, Пуанкаре. Вот проблема близнецов.

Возьмем парные числа (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), … , (41 и 43), … , (1 000 000 007 и 1 000 000 009). Спрашивается, закончится ли когда-нибудь этот ряд пар чисел? Наступит ли момент, когда будут выписана последняя пара и список близнецов окажется исчерпанным, или же ряд близнецовых пар продолжается неограниченно и их совокупность бесконечна (как бесконечна совокупность простых чисел)?

Есть гипотеза о том, что совокупность близнецовых пар бесконечна. Проблема доказательства этой гипотезы и есть проблема близнецов. Она не решена до сих пор, хотя с помощью компьютеров и найдены весьма большие близнецы: на начало 2007 года установлены близнецы, которые содержат по 58 711 знаков в своих десятичных записях – это два простых числа, на единицу большее и на единицу меньшее произведения (2 003 663 613)х(2) в степени 195000.

Не менее поучительны примеры проблем такого типа, решения для которых не существуют в принципе. Принято считать, что ранее всего была установлена принципиальная нерешимость проблемы нахождения общей меры двух отрезков, приписываемой школе Пифагора. Известно, что Пифагор и его последователи считали натуральные числа мерилом всех вещей, выразителями мирового порядка и основой математического бытия. Их занимала мысль об универсальной единицы длины, т.е. о таком едином отрезке, который в каждом другом отрезке укладывался бы целое число раз. Прежде всего, они пришли к пониманию, что такого отрезка не существует. Это сегодня его отсутствие кажется очевидным, тогда же оно было подлинным открытием.

Но оставался вопрос, существует ли подобный отрезок-мера, не общий для всех отрезков сразу, а свой для каждых из двух отрезков. Для ясности сформулируем проблему более развернуто. Представим себе два отрезка. Их общей мерой называется такой отрезок, который в каждом из них укладывается целое число раз. Скажем, если второй из отрезков составляет треть первого, то этот отрезок и будут общей мерой. И действительно, в первом отрезке он укладывается три раза, а во втором – один раз. Отрезок, составляющий одну шестую первого отрезка, будут укладываться в нем 6 раз, а во втором 2 раза: он также будут их общей мерой.

Легко представить себе пару отрезков, для которых их общая мера будет укладываться в первом отрезке 6 раз, а во втором – 5 раз; другая общая мера тех же отрезков будет укладываться в первом из них 18, а в другом - 15 раз.

Теперь спросим себя, пишет В.Л.Успенский, для любых ли двух отрезков существует их общая мера? Ответ далеко не очевиден. В школе Пифагора был получен следующий поразительный результат: если взять какой-либо квадрат, а в нем – его сторону и диагональ, то окажется, что эта сторона и диагональ не имеют общей меры. Говорят, что диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы. А соизмеримыми как раз и называются такие два отрезка, которые имеют общую меру.

Оценивая открытие несоизмеримых отрезков с позиций современности, можно отметить два общекультурных результата. Первый заключается в том, что впервые было доказательно установлено отсутствие чего-то – в данном конкретном случае общему меры стороны и диагонали одного и того же квадрата. Произошел один из самых принципиальных переворотов в развитии человечества. В самом деле, доказать нечто существующим, можно предъявив это нечто. Например, если бы гипотеза Ферма оказалась неверна, то для ее опровержения достаточно было бы предъявить некоторый показатель степени и соответствующую ему тройку Ферма.

Но как доказать, что чего-то нет? Если искомое что-то заведомо содержится в известной и ограниченной совокупности, то, вообще говоря, можно перебрать все элементы этой совокупности и убедиться, что ни один из них нам не подходит. А что, если искать наше что-то надлежит в совокупности необозримой? Но ведь именно эта ситуация имеет место при поиске общей меры, ведь искать ее приходится в необозримой совокупности всех мыслимых отрезков. Остается единственный способ, а именно доказывать отсутствие не путем непосредственного наблюдения, а путем логического рассуждения. Его и применяли пифагорейцы. До нас дошло чисто геометрическое доказательство отсутствия общей меры. Сегодня принято сводить несоизмеримость диагонали и стороны к вопросу теории чисел.

Второй общекультурный аспект открытия явления несоизмеримости привел к понятию действительного числа, лежащему в основе не только математики, но и всего современного естествознания и современной техники.

И здесь перед нами встает еще одна важная проблема, проблема длины и числа. Длина отрезка есть некое соотнесенное с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, т.е. квадрата со стороной, длина которого – единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Возникает дилемма: или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины, или изобрести какие-то новые числа помимо целых и дробных. Человечество изобрело второе.

Как возникает понятие длины с логической и исторической точек зрения? Для измерения величины какого угодно рода (длины, веса, температуры или напряжения) требуется, прежде всего, назначить эталон измерения, т.е. такую величину этого рода, мера которой объявляется равной единице. Тогда мера любой величины того же рода определяется числом, отражающим отношение измеряемой величины к эталону. В частности, для измерения длин надлежит в первую очередь указать в качестве эталона отрезок, длина которого объявляется числом один. Этот отрезок называется единичным.

Если теперь этот единичный отрезок укладывается в каком-то другом отрезке 7 или 77 раз, то этому другому отрезку приписывается длина 7 или 77. Таким способом приписываются целочисленные длины всем отрезкам, такую длину имеющим. В стороне от указанного процесса остаются все те многочисленные отрезки, в которых единичный отрезок не укладывается конечное число раз. Посмотрим, как обстоит дело с ними.

Возьмем какой-нибудь из этих отрезков и предположим, что он соизмерим с единичным. Пусть, скажем, их общая мера укладывается в нашем отрезке 18 раз, а в единичном 12 раз. Тогда в нашем отрезке укладывается 18/12 единичного отрезка, и ему приписывается длина 18/12. Если для двух отрезков найдена их общая мера, то для них всегда можно указать и другие общие меры, и притом в бесконечном количестве. Для рассматриваемого случая таковыми будут, скажем, мера, укладывающаяся в избранном отрезке 180 раз, а в единичном отрезке – 120 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 9 раз, а в единичном отрезке 6 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 6 раз, а в единичном отрезке 4 раза; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 3 раза, а в единичном отрезке 2 раза.

Следовательно, нашему избранному отрезку можно приписать и длину 180/120, и длину 9/6, и длину 6/4, и длину 3/2. Именно поэтому указанные дроби, будучи различными дробями, выражают одно и то же число. Эти дроби можно трактовать как разные имена этого числа, т.е. как синонимы. Таким образом, длина у отрезка одна, хотя именоваться она может по-разному.

Числа, выражаемые целыми дробями, называются дробными. Целые и дробные числа объединяются под названием рациональные числа. Но, как мы уже выяснили, диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной. Поэтому если взять квадрат со стороной длины единица, то оказывается, что длина диагонали этого квадрата никаким рациональным числом не выражается. Следовательно, у этой диагонали либо вообще нет длины, либо эта длина выражается числом какого-то нового типа, они называются иррациональными. Вместе с рациональными числами они образуют систему действительных, или вещественных чисел. В этой системе каждый отрезок обретает длину в виде некоторого действительного числа.

Однако еще до античности лишь натуральные числа считались числами. Число понималось как совокупность единиц. Постепенно в обиход входили дроби, которые также трактовались как выражающие отношение величин.

Открытие явления несоизмеримости привело к осознанию того поразительного факта, что не всякое отношение величин может быть выражено дробью, и в конечном счете – к возникновению понятия действительного числа. Усилиями великого арабского ученого и государственного деятеля 13 века Насирэддина Туси и великого И.Ньютона было сформулировано следующее определение: под числом понимают не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей, дробное есть кратное долей единицы, иррациональное число несоизмеримо с единицей.

Французский математик Шарль Мерэ (1835 – 1911), а затем немецкий математики Рихард Дедекинд (1831 – 1916) и Георг Кантор (1845 – 1918) показали, что строительным материалом для математического понятия действительного числа служат рациональные числа, которые строятся на основе целых чисел. А натуральные числа родились в процессе пересчитывания предметов, а также определения количества предметов. Это разные процессы, и они, с философской точки зрения, приводят к различным, хотя и соотнесенным друг с другом, системам натуральных чисел. Пересчет мы обычно начинаем со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее количественное число есть ноль, а наименьшее считательное число есть «раз» (один, единица).

Для понимания сущности чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже скажем, два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стула, два стола, а услышать или прочитать можно слово «два». Абстрактность понятий не есть отличительная черта математики. Мы оперируем не менее абстрактными физическими понятиями, например, электрон, масса, пространство.

К задачам, не имеющим решения, относятся задача на построение для заданного круга такого квадрата, который был бы равновелик (то есть равен по площади) этому кругу. Эту задачу в 1888 году решил, то есть показал, что она не имеет решения, немецкий математик Фердинанд Линдеманн. Это также задача о трисекции угла: в ней требуется для каждого угла построить другой угол, составляющий треть исходного. Если для некоторых углов это не составляет труда, то для углов в 10 и 20 градусов оказалось невозможным осуществить трисекцию углов в 30 и 60 градусов.