Аксиоматический метод

Развитие дедуктивных методов построения научных теорий тесно связано с аксиоматическим методом. Эта связь настолько тесная, что термины дедуктивный метод и аксиоматический метод рассматриваются как синонимичные, что не совсем точно. Сближение терминов имеет исторические основания, когда образцом дедуктивно построенной считалась аксиоматизированная геометрия Евклида, а остальные науки стремились походить на нее: например, физика, биология, квантовая механика.

Для понимания сущности аксиоматического метода следует обратить внимание на то обстоятельство, что в достаточно развитой научной теории всегда можно найти группу понятий, которые используются для определения других понятий этой теории. Это так называемые фундаментальные понятия данной теории, значение которых полагается известным и в данной теории не требующим определений. Например, в механике Ньютона таким понятием будет понятие силы, в геометрии Евклида – понятие точки, прямой, плоскости. В дедуктивных теориях они называются первичными понятиями теории. (Формальная логика, 1977).

Построение осуществляется следующим образом. Прежде всего, выбирают некоторое число исходных понятий без объяснения их смысла, полагая его известным. В дальнейшем эти понятия используются для определения всех других понятий (их называют определяемыми понятиями данной теории), которые необходимо будет ввести в теорию по мере ее развития. Вводя новые понятия, строго следуют правилу, что ни одно понятие не может быть употреблено в теории без предварительного его определения с помощью первичных понятий или тех, которые раньше уже были определены в теории. Никаких других понятий, кроме первичных и определяемых, аксиоматическая теория не содержит.

Аксиомы и первичные понятия образуют базис теории. Очередной шаг – введение правил доказательства. Обычно число их невелико, а содержание несложно. Оно состоит в указании операций, с помощью которых можно доказать любое истинное в данной теории утверждение, а также их описание. Только после того, как вводятся правила, аксиоматизация теории заканчивается, и можно приступать к доказательству теорем и выведению новых утверждений.

Итак, аксиоматический метод – это такой способ построения какой-нибудь теории, допустим математической, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения теории, называемые аксиомами, а все остальные положения теории, называемые теоремами, доказываются на основе таких аксиом путем чисто логических рассуждений.

При ответе на вопрос, что такое аксиомы, мы входим в области, пограничные между науками (математикой) и философией.

В экспериментальных науках многие Факты обосновываются экспериментально, т.е. посредством проведения эксперимента. Экспериментом называется научно поставленный опыт. Известно, что анальгин понижает повышенную температуру и уменьшает чувство боли. Каждый может убедиться, что соль обладает свойством растворимости в воде. В физике свойство равноускоренного свободного падения неоднократно проверялось Галилеем и его последователями.

Иное дело теоремы геометрии. Предположим, мы должны обосновать факт, что у двух треугольников, у которых равны две стороны и угол между ними, равны и третьи стороны. Будем ставить эксперименты, взяв два треугольника, удовлетворяющие сформулированному требованию, и каждый раз будем видеть, что и третьи стороны равны. Но вдруг когда-то эксперименты дадут иной результат и для еще не рассмотренных нами треугольников равенство третьих сторон не выполняется?

Изменим условия, изначально налагаемые нами на треугольники и вместо того, чтобы требовать равенства углов, расположенных между попарно равными сторонами, будем требовать равенства углов, прилежащих к соответствующим сторонам. Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 сторона АВ равна стороне А1В1, сторона АС равна стороне А1С1 и, кроме того, угол В равен углу В1; тогда сторона ВС равна стороне В1С1. Верно ли это утверждение?

Это утверждение неверно. В этом можно убедиться, найдя противоречащий пример, т.е. пару треугольников, для которой выполнены все условия сформулированного нами утверждения, но не выполнено его заключение. Ситуация непростая, потому что найти противоречащие примеры бывает довольно нелегко. Тогда можно будет сделать ошибочный вывод.

Анализ показывает, что следует быть острожным, применяя неполную индукцию, т.е. переход от частных приемов, которые не исчерпывают в своей совокупности всех возможных случаев, к утверждениям общего характера.

Но что делать с теоремой о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними? Перед нами стоит выбор: или попытаться доказать ее, опираясь на ранее доказанные утверждения, или объявить ее аксиомой, т.е. утверждением, не нуждающимся в доказательстве. Мы выберем второй путь, поскольку, доказывая нашу теорему с помощью других, ранее доказанных, а те с помощью третьих, и так далее, мы уйдем в дурную (нескончаемую) бесконечность.

Система аксиом, определения и правила вывода аксиоматизированной системы должны удовлетворять ряду методологических условий. Для правил вывода они сводятся к требованию строгой и однозначной формулировки, а также к требованию достаточности. Для определений важны два требования: устранимости и непротиворечивости.

Смысл требования устранимости определений сводится к тому, что всякое выражение теории, содержащее определяемое понятие, может быть заменено эквивалентным ему выражением, в котором это понятие отсутствует, но зато содержатся только первичные понятия теории.

Если введение определений и определяемых понятий не приводит к возникновению противоречий в теории, т.е. к ситуации, когда в ней становятся выводами как утверждение А, так и утверждение не-А, то они отвечают требованию непротиворечивости. Аксиоматическая система должна быть непротиворечивой, полной и независимой.

Система аксиом является непротиворечивой, если из нее в соответствии с принятыми правилами нельзя вывести двух утверждений, одно из которых было бы отрицанием другого.

Аксиоматизация научных теорий имеет большую познавательную ценность. Она позволяет эффективно и на строго логической основе решать проблему истинности положений теории как проблему их доказуемости. Действительно, при соблюдении всех правил доказательства имеется полная гарантия, что из истинных аксиом получают в качестве следствий новые истинные положения теории.

Выделяют три этапа развития этого метода:

-первый этап связан с формированием математического знания на собственной основе: от Евклида до Лобачевского;

-второй этап знаменует становление абстрактных (формальных) аксиоматик, он связан с появлением неевклидовых геометрий и вплоть до работ Д.Гильберта по основаниям математики;

-третий этап соответствует современному состоянию математики.

Обратим внимание на первый этап. До Евклида все математики античности ограничивались изучением теорий как проблемно-концептуальных образований. А реализация аксиоматического метода предполагала знание аксиом и правил вывода. Среди множества геометрических понятий Евклид выделяет такие, которые считает за исходные, а все остальные стремится определить через них. Класс исходных положений (аксиом и постулатов) и класс исходных геометрических понятий он рассматривает в качестве интуитивно ясных, а все другие выводит логическим путем из аксиом и постулатов.

В системе аксиом за основные понятия приняты точка, прямая, плоскость, движение. Вот как определяется точка: точка есть то, что не имеет частей. Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней. Следует заметить, что в современных нам аксиоматических системах понятия точки и прямой вообще не определяются никак: точка есть точка, а прямая есть прямая. Евклид выводит также следующие отношения: точка лежит на прямой или на плоскости, точка лежит между двумя другими точками. Всего выделяют пять групп аксиом:

Первая группа - аксиомы сочетания, их шесть, вот они:

-через каждые две точки можно провести прямую, и притом только одну;

-на каждой прямой лежат, по крайней мере, две точки, и существует хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой;

-через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну;

-на каждой плоскости есть, по крайней мере, три точки и существует хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости;

-если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости;

-если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

Аксиомы порядка, их четыре:

-если точка В лежит между точками А и С, то все три лежат на одной прямой;

-для каждых двух точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С;

-из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими;

-если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает еще другую его сторону или проходит через вершину (отрезок АВ определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются и стороны треугольника).

Аксиомы движения, их три:

-движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям;

-два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное;

-если даны точки А и А1, исходящие из них полупрямые a, a1 и полуплоскости а и а1, ими ограниченные, то существует движении, и притом единственное, переводящее А, а, а в А1, а1 и а1 (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

Аксиомы непрерывности, их две:

-аксиома Архимеда. Всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением);

-аксиома Кантора. Если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

Аксиома параллельности:

-через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной.

Построение системы математических знаний Евклидом служило образцом логической точности и строгости и для всего научного знания на протяжении многих столетий, прежде чем в 18 веке стала заметной эволюция стандартов точности построения теорий. Открытия Лобачевского и других выдающихся математиков 19 века привело к существенному изменению взглядов не только на геометрию Евклида, но и на вопрос о природе и критериях математической строгости вообще.

На рубеже 19 – 20 веков великим немецким математиком Давидом Гильбертом была создана новая система аксиом, основу которой составили восемь исходных, или неопределяемых, понятий: точка, прямая, плоскость, отношение связи точки и прямой, отношение связи точки и плоскости, отношение «находиться между» (для точек), отношение конгруэнтности отрезков, отношение конгруэнтности углов.

Чтобы понимать смысл аксиомы, мы должны иметь представление о смысле использованных в аксиомах понятий. При наглядном способе понятие усваивается на примерах. Например, понятие «стол» или «дом» складывается на основе многократного наглядного контакта с соответствующими предметами. Аналогично человек приобретает понятия, которые выражают положение тел в пространстве, например, снизу, слева, справа, между, над. Таким образом, происходит первое знакомство и с некоторыми математическими понятиями, например, шар, прямая линия, точка. Разумеется, многие предметы, с которыми мы имеет дело, лишь приближаются по форме к геометрическим телам, никогда их не достигая. Так, мы никогда не имели дело с абсолютно круглым шаром или бесконечной прямой линией. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, плоскости, углы, шары. Поэтому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, который населен этими геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный.

Но существует иной способ – с помощью определений. Возьмем для примера понятие угла. Можно объяснить это понятие, демонстрируя конкретные углы, т.е. применяя наглядный способ. А можно ли этим путем определить, что такое угол?

Вот вам определение. Угол есть совокупность (множество) двух лучей, исходящих из одной и той же точки О. В этом случае мы должны знать, что такое луч, исходящий из точки О. Это понятие определяется как множество, состоящее из самой точки О и всех точек, расположенных по одну и ту же сторону от этой точки. Но что значит, что две точки лежат по одну и ту же сторону от точки О?

Это значит, что эти две точки и точка О лежат на одной и той же прямой, причем так, что точка О не находится между этими двумя точками. Но тогда мы должны сперва установить, что означает, что точки лежат на прямой и одна точка находится между двумя другими.

Мы видим, что на втором пути одни понятия определяются через другие. Но не есть ли тот путь, который заведет нас в дурную бесконечность? Чтобы этого не случилось, мы просто вынуждены остановиться на каких-то геометрических понятиях, которые уже не имеют определения и потому называются неопределяемыми или исходными.

Но если исходные понятия не определены, откуда мы можем знать, что они означают, если мы не можем обратиться к наглядному опыту? Выход предлагает аксиоматический метод.

Итак, мы хотим рассуждать о некоторых понятиях, причем рассуждать совершенно точно, как и требуется в математике. Но точности наших понятий мешает то обстоятельство, что эти понятия не имеют определений. Тогда поступим так, предлагает В.Л.Успенский. Попытаемся выписать основные свойства этих понятий, а именно те свойства, на которые будем опираться в наших рассуждениях. Дадим себе обещание не использовать в рассуждениях никаких иных свойств, кроме тех, которые внесены нами в список основных свойств. Каждый отдельный элемент списка, в котором фиксированы какие-то определенные свойства рассматриваемых понятий, будут называться аксиомой, сам же список – системой аксиом. Рассуждения, которые не опираются ни на какие свойства понятий, кроме явно указанных в аксиомах, относятся к чисто логическим.

Рассмотрим вслед за В.Л.Успенским аксиомы метрики и аксиомы меры. Пытаясь определить расстояние от Москвы до Владивостока, мы обнаружим четыре разные метрики:

-евклидову метрику, когда расстояние между двумя точками пространства измеряется длиной соединяющего их отрезка, пусть даже и протыкающего насквозь нашу планету;

-сферическую метрику, когда расстояние между двумя точками мерится по поверхности сферы;

-железнодорожную метрику, когда расстояние между двумя точками измеряется длиною рельсового пути между ними;

-автомобильную метрику, когда расстояние измеряется длиной автомобильного пути.

Можно попытаться выделить те свойства, которые присущи всем мыслимым способам измерения расстояния. Таких свойств оказалось три.

Во-первых, расстояние от любого места до этого самого места равно нолю, а расстояние между различными местами не может быть равно нолю.

Во-вторых, расстояние от одного места до второго должно быть равно расстоянию от второго места до первого (свойство симметричности расстояния).

В-третьих, мы не можем сократить расстояние от А до В, если по дороге зайдем в пункт С.

Все эти свойства оформляются в виде так называемых аксиом метрики. А метрикой называется функция, ставящая в соответствие двум объектам расстояние между ними.

Но бывают и другие измерения. Например, размер комнаты обычно измеряют площадью ее пола. Однако, если нужно клеить обои, то важно другое измерение – площадь стен. Немаловажное значение имеет и объем комнаты.

Когда перемещают товар, то иногда его мерят по весу (столько-то тонн угля), иногда по объему (кубометров газа), а в иных случаях – скажем при таможенных расчетах – и по стоимости (на такую-то сумму денег). Сельскохозяйственные угодья можно измерять количеством снимаемого урожая. Все эти способы подчиняются аксиомам меры.

Представим, что у нас есть нечто, что может делиться на части. это может быть проволока, или жилой фонд, или какой-то товар, ил лесной массив. Далее, каждой части мы ставим в соответствие некоторое число, называемое мерой этой части. Например, в случае проволоки мерой части, т.к. куска проволоки, может служить ее длина, вес – но мы должны остановиться на одном из этих вариантов. В случае жилого фонда, часть состоит из какого-то количества комнат или квартир, а мерой может служить или, как обычно, площадь, или, объем (что практически не встречается).

Во всяком случае, мера каждой части есть неотрицательное действительное число. Очевидны основные свойства меры. Например, мера пустой части должна быть равна нолю. Но это не главное свойство меры. Главное свойство меры состоит в ее аддитивности.

Это значит, что при сложении частей меры должны тоже складываться. Разумеется, слагаемые части должны при этом не перекрываться. Достаточно потребовать, чтобы это правило действовало для сложения двух частей, т.е. чтобы выполнялось следующее: если две неперекрывающиеся части соединяются в одну, то мера образовавшейся суммарной части должна быть равна сумме мер тех двух частей, из которых эта суммарная часть составлена. А тогда это свойство аддитивности будет автоматически распространяться на сложение любого конечного числа частей.

Действительно, меру частей, полученную слиянием частей А, В и С, можно вычислить так: сперва объединить А и В, мера объединенной части будет равна сумме мер частей А и В; а затем к этой объединенной части присоединить С; в результате окажется, что результирующая мера равна сумме мер всех трех частей. И таким образом следует поступать для любого конечного числа частей. Поэтому изложенный вариант свойства аддитивности называется свойством конечной аддитивности.

Однако для развития теории меры свойство конечной аддитивности часто оказывается недостаточным, и востребованным оказывается его обобщение на случай бесконечного числа слагаемых. Чтобы мы имели дело с полноценной мерой, нужно чтобы выполнялось следующее правило счетной аддитивности: если А1, А2, А3, … Аэн, … есть последовательность неперекрывающихся частей и мы соединили их все в новую часть, то мера этой образовавшейся суммарной части равна сумме ряда, составленного из мер всех отдельных членов нашей последовательности. Заметим, что свойство конечной аддитивности вытекает из свойства счетной аддитивности. Сумма двух частей А и В равна сумме членов бесконечной последовательности, у которой первые два члена совпадают соответственно с А и В, а остальные члены совпадают с пустой частью. Составленный из мер числовой ряд будет выглядеть в этом случае так: мера части А плюс мера части В плюс ноли, ноли, ноли… Сумма этого ряда как раз и будет равна сумме мер частей А и В.

Чтобы перейти на математический уровень рассуждений, вместо часть будем применять подмножество. Когда говорят о подмножествах, всегда имеют в виду некоторое универсальное множество, чьими частями и являются рассматриваемые подмножества. В случае проволоки, таким множеством будет множество ее точек, ели игнорировать ее толщину. А если не игнорировать, то множество линейных координат поперечных срезов; линейная координата – это расстояние от начала проволоки до ее среза. Всякий кусок проволоки можно рассматривать как подмножество такого множества. В случае жилого фонда универсальным множеством будет множество всех точек пространства, принадлежащих включенным в этот фонд комнатам и квартирам. В случае товара универсальным множеством служит множество всех единиц, из которых состоит товар. Например, в случае мебели – это предметы мебели, а в случае угля или газа – это материальные точки, т.е. мельчайшие частицы, из которых состоит топливо.

Представим себе пространство, заполненное материальными телами, имеющими массу; тогда, очевидно, имеет смысл говорить о суммарной массе, заключенной в данном объеме пространства, а более общо – данном множестве точек пространства. Мы получим функцию, относящуюся к некоторым множествам точек пространства их (множеств) массу. Эта функция является мерой. Универсальное множество здесь – множество всех точек пространства.

Другой пример – с тем же универсальным множеством. Поставим в соответствие данному объему пространства вероятность того, что интересующее нас событие происходит именно в пределах этого объема. Более общо, припишем некоторым множествам вероятность того, что событие происходит в одной из точек этого множества. Функция, относящаяся к множеству соответствующую вероятность, является мерой. Отсюда ясно, почему вся современная теория вероятностей имеет своим фундаментом теорию меры.

Мера есть функция, аргументами которой служат подмножества универсального множества. Не предполагается, что мера есть у всякого подмножества; те подмножества, у которых она есть, называются измеримыми. Скажем, в случае товара, при измерении его стоимости, не всякое собрание единиц этого товара можно считать товаром, имеющим стоимость. Даже газ должен поступать достаточно компактными объемами; если мы, скажем, мысленно отберем в рассматриваемую часть каждую десятую молекулу газа, то полученное подмножество молекул будет слишком разреженным, чтобы признать его часть того самого газа – не в физическом, а в потребительском смысле.

(цит.соч.В.Л.Успенский, с. 299 – 322)

Аксиоматическое определение – это определение термина через множество аксиом (постулатов), в которые он входит, и которые последовательно ограничивают область его возможных истолкований. Например, можно дать определение понятия «равенство». Но можно привести систему истинных утверждений, включающих это понятие и неявно задающих его значение: каждый объект равен самому себе; или – для всех объектов верно, что если первый равен второму, а второй третьему, то первый равен третьему.

Аксиоматическое определение является частным случаем определения контекстуального. Всякий отрывок текста, всякий контекст, в котором встречается интересующее нас понятие, является в некотором смысле неявным определением последнего. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самым косвенно раскрывает его содержание; так мы начинаем понимать смысл иностранного слова, например. Аналогично и в науке. Совокупность аксиом какой-либо теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом, который неявно определяет все входящие в аксиомы понятия.

Для того, чтобы понять значение слов «масса», «сила» или «ускорение», мы можем обратиться к аксиомам классической механики И.Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение, или сила действия равна силе противодействия и так далее. Эти положения, указывая связи понятия «сила» с другими понятиями механики, раскрывают его сущность.

Принципиальное отличие аксиоматического определения от иных контекстуальных определений в том, что аксиоматический контекст строго ограничен и фиксирован, содержит все, что необходимо для понимания входящих в него понятий, ограничен по размеру и составу.

Аксиоматическое определение – одна из высших форм научного определения. Не всякая теория способна определить свои исходные термины аксиоматически, для этого требуется довольно высокий уровень развития знаний об исследуемой области. Изучаемые объекты и их отношения должны быть также сравнительно просты.

Аксиоматизированные системы знаний достигают наибольшего совершенства в результате применения к ним метода формализации. Его основу составляет особый, формализованный язык, о чем было сказано выше.

Современная аксиоматическая система предполагает знание аксиом и правил вывода. Правилами вывода называют правила, по которым из посылок получают заключение. Такими правилами являются правило подстановки и правило заключения.

Правило подстановки состоит в том, что при некоторых условиях, если истинная формула содержит букву А, то допустимо ее всюду заменять произвольной формулой. В результате такой подстановки получается вновь истинная формула.

Правило заключения состоит в том, что если А и А, которое влечет В являются истинными формулами, то истинно и В.

Аксиома – это не раз и навсегда установленное истинное положение, не нуждающееся в оправдании в силу своей самоочевидности, а составной элемент теории, который получает подтверждение вместе с нею. (Канке В.А. Общая философия науки: учебник. – М.: Изд-во Омега-Л, 2009. – 354с.). Из истории науки известно, что у математиков было много хлопот с аксиомой параллельности прямых, сводимости, бесконечности из теории множеств. Анализ выделяет проблематичный характер любой аксиомы. То же самое характерно и для правил вывода. Иногда аксиомы взаимозаменяемы с теоремами. Так, в геометрии Евклида в качестве пятой аксиомы можно избрать как положение о том, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, так и утверждение, что через точку, находящуюся вне данной прямой, можно провести лишь одну параллельную ей прямую. Если первое положение избирается в качестве аксиомы, то второе утверждение есть теорема. Если же утверждение считается аксиомой, то первое положение становится теоремой. Однако такого рода превращения возможны не всегда. Так, аксиому бесконечности, согласно которой есть хотя бы одно множество с бесконечным числом объектов, невозможно вывести из каких-либо аксиом. К аксиомам и выводам из них предъявляются требования непротиворечивости, независимости и полноты.

Теория противоречива (а вместе с ней противоречивы и аксиомы), если в ее состав входит как высказывание А, так и его отрицание не-А. Если в теории появляются противоречия, то от них стремятся избавиться. В связи с этим избираются новые аксиомы.

Независимы друг от друга те аксиомы, которые не выводимы в теории в качестве теорем. Независимость аксиомы указывает на ее необходимость для получения всей совокупности выводов данной теории.

Аксиоматическая система теории является полной, если все ее положения выводимы. Если же в составе теории обнаруживается невыводимое положение, то относительно него необходимо определиться. Либо это положение является еще одной аксиомой, которая, будучи присоединенной к исходным, делает теорию более строгой, либо придание рассматриваемому положению статуса аксиомы приводит к противоречию. Лишь второй случай указывает на неполноту системы аксиом. В таком случае система должна быть дополнена с тем, чтобы анализируемое положение приобрело характер теоремы.

Формальный аксиоматический метод отличается от неформального тем, что совершенно четко определяет не только исходные понятия и записанные в виде аксиом исходные положения, но и дозволенные способы рассуждения. Точно указываются допустимые логические переходы. Более того, и аксиомы и разрешенные логические переходы должны быть оформлены таким образом, чтобы первые можно было использовать, а вторые – делать чисто механически, не вникая в их содержание, так чтобы и то и другое было по силам исполнительному лаборанту или компьютеру. Для этого нужно уметь оперировать с используемыми в доказательствах утверждениями, опираясь только на их внешний вид, а не на содержание, непонятное ни лаборанту, ни компьютеру. Такое оперирование затруднительно, если утверждения записаны на естественном языке, их приходится записывать на языке, отражающем структуру утверждений. Таким образом, формальный метод имеет дело не с утверждениями, а с предложениями.

Теорема Геделя о неполноте

Поясним сказанное о формальном методе. Теорема Геделя утверждает, что не все можно доказать, говоря точнее – что существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать, такие утверждения найдутся даже среди утверждений о натуральных числах. Данная формулировка заключает в себе некое противоречие. Если мы обнаружили истинное утверждение, которое невозможно доказать, то откуда мы знаем, что оно истинное? Ведь чтобы убежденно говорить о его истинности, мы должны эту истинность доказать. Но тогда как же можно говорить о его недоказуемости?

Разгадка в том, что в грубых формулировках теоремы Геделя смешиваются два понятия доказательства – содержательное (неформальное, психологическое) и формальное. Теорему Геделя надлежит понимать в следующем смысле: существуют не имеющие формального доказательства утверждения, являющиеся тем не менее истинными, причем истинность их подтверждается содержательными доказательствами. Иными словами, эти утверждения доказуемы содержательно и недоказуемы формально. Отметим, пишет В.Л.Успенский, что в применении к какому бы то ни было утверждению, более корректно было бы говорить о формальных доказательствах не самого этого утверждения, а предложения, служащего записью этого утверждения в виде слова, составленного из букв, входящих в алфавит.

Следует уточнить, поскольку понятие формального доказательства осмысленно лишь тогда, когда предъявлены аксиомы и правила вывода. Достаточно взять любое утверждение и включить его в число аксиом, и оно тут же сделается доказуемым формально. Чтобы не осложнять изложение, ограничимся вслед за В.Л.Успенским, ситуациями, при которых ни одно утверждение, не являющееся истинным, не может оказаться доказуемым (для чего достаточно, чтобы аксиомы выражали истинные утверждения, а правила вывода сохраняли истинность). Тогда точная формулировка теоремы Геделя будет такова: если язык достаточно богат, то какой бы список аксиом и какой бы список правил вывода ни были предъявлены, в этом языке найдется истинное утверждение о натуральных числах, не имеющее формального доказательства.

При этом под утверждениями о натуральных числах понимаются такие, которые помимо общелогических понятий (вроде «и», «если … то», «существует», «равно») используют в своих формулировках лишь натуральные числа и операции сложения и умножения.

Под достаточным богатством языка понимается его способность выражать некоторые утверждения о натуральных числах. Чтобы было понятно, что имеется в виду, заметим, что язык демонстрации формального аксиоматического метода является «бедным»: в нем выразимы лишь очень простые утверждения о натуральных числах, а именно такие утверждения, которые можно сформулировать, используя лишь обозначения чисел (т.е. нумералы), переменные x и y, общелогические понятия «равно», «существует», «неверно, что … », «если …, то»). Богатство языка означает его способность выражать более сложные утверждения о числах: требуется, чтобы для любого перечисленного множества натуральных чисел в языке имелась формула, выражающая принадлежность к этому множеству натурального числа.

 

Восхождение от абстрактного к конкретному – еще один метод изучения объекта. Этот метод состоит в движении теоретической мысли от абстрактного (одностороннего, неполного) знания об объекте к конкретному (всестороннему, относительно полному и целостному) его воспроизведению.

Перед исследователем часто встает вопрос, каким же образом вернуться назад, к тому от чего он абстрагировался в целях разрешения теоретической стороны проблемы? Ведь в противном случае все выводы останутся уделом абстрактных построений. В этой связи крайне важно осмыслить переход от абстрактного к конкретному согласно структуре наук, а она такова: принципы – законы – модели – положения, относящиеся непосредственно к изучаемым явлениям.

На всем указанном протяжении движения мысли операция абстрагирования всего лишь способствует выделению определенных компонентов изучаемой системы. Согласно Дж.Локку, абстрагирование состоит в отбрасывании несущественного, что приводит к выделению тождественного. Допустим, рассматриваются различные виды конкретного труда. Если отбросить то, что их отличает, то получается абстрактный труд, который представляет собой концептуальную форму конкретного труда. Так рассуждал бы Дж.Локк в данном случае.

Однако совершенно иначе действовал К.Маркс, который подчеркивал, что наиболее всеобщие абстракции возникают только в условиях наиболее богатого конкретного развития, где одно и то же является общим для многих или для всех. Новация К.Маркса состояла в том, что он придал абстрактному социальный статус. Следовательно, к конституированию абстрактного приводит не столько абстрагирующая деятельность людей, сколько их социальное взаимодействие.

Для последователей Дж.Локка, существует одна разновидность труда – конкретный труд, а для последователей К.Маркса существует две разновидности труда – труд конкретный и труд абстрактный. Абстрактный труд появился в результате общественного развития. Абстрагирующая деятельность ученого состоит не в искусственном создании абстракций, а в выделении «клеточки» системы, которая позволит воспроизвести все богатство этой системы. Этой «клеточкой» К.Маркс считал товар, как воплощение абстрактного труда. Мы можем увидеть, что у Г.Гегеля и К.Маркса целое вырастает из «клеточки», как из своего зародыша.

Вместе с тем, последовательное наращивание ступеней теории не является восхождением от абстрактного к конкретному, его целесообразно толковать как продвижение от поверхностной к более глубинной информации. Исходное выступает как конкретное, т.е. единство многообразного. Абстрактное есть обедненное конкретное.

 

Классификация и типология научных методов. Это процедуры, основой которых явля­ется логическая операция деления объема понятия. Объемом понятия в логике называется класс объектов, которые обозначаются данным понятием.

Операция, которая в соответствии с каким-либо способом или правилом приводит к формированию подклассовисходного объема понятия, называется делениемобъема понятия. В общем случае деление объема понятия приводит к некоторому упорядочению, уточнению, струк­туризации исходного знания. Простейшим случаем деления является деле­ние дихотомическое, при котором объем понятия делится на два строго взаимоисключающих подкласса: например, деление треугольников на правильные и неправильные.

Классификация и типологияявляются сложными действиями, вклю­чающими, как правило, много шагов и способствующими достаточно де­тальному прояснению исходного содержания того или иного понятия. Они играют важную роль в научном познании. Типология — самостоятельная логико-методологическая процедура, которая, несмотря на свою существенную близость к классификации, не может быть полно­стью сведена к ней. Типологические приемы имеют огромное значение в гуманитарных науках.