Характеристика показателей эффективности средств радиоподавления
Информационные критерии
В зависимости от вида помехового сигнала и класса, подавляемого радиоэлектронного средства, могут иметь место различные информационные критерии.
Качество маскирующих помех удобно оценивать с помощью энтропии помехового сигнала.
Маскирующие помеховые сигналы должны исключать возможность обнаружения полезного сигнала с вероятностью, превышающей заданное значение, при некоторых ограничивающих условиях. Непременным условием является априорное знание полезного сигнала. Степень этого знания может быть различной, но тем не менее некоторые априорные сведения о полезных сигналах, о законах распределения частных видов сигналов, принадлежащих данному классу, должны быть известны всегда. В противном случае не представляется возможным обеспечить работоспособность информационной системы.
Идеальные маскирующие помеховые сигналы должны создавать такие условия, при которых апостериори, после приема полезного сигнала, априорная неопределенность в системе информационного обеспечения сохранялась. Иными словами, маскирующие помеховые сигналы должны содержать элемент неопределенности. Чем больше неопределенность помехового сигнала, при заданных ограничениях, тем меньше потенциальных возможностей для его устранения и тем при большей неопределенности приходится принимать решения.
Как известно, мерой неопределенности случайной величины или случайного процесса является энтропия ((1.7.2)).
В случае дискретного распределения случайной величины, описываемого полной конечной вероятностной схемой:
, (1.7.3)
где – значение случайной величины;
– вероятность того, что значение будет иметь место;
(1.7.4)
энтропия случайной величины А определяется формулой
(1.7.5)
При прочих равных условиях среди маскирующих помеховых сигналов лучшим является тот, энтропия которого больше.
Если случайная величина х описывается непрерывным законом распределения с плотностью , то ее энтропия
(1.7.6)
Соответственно для случайной величины, характеризуемой многомерной плотностью распределения :
(1.7.7)
Обычно при осуществлении радиосвязи имеется априорная неопределенность, и априори известна некоторая вероятность принятия i-го сигнала. Обозначив через событие, состоящее в принятии i-го сигнала можно составить вероятностную схему А, учитывающую априорные сведения о сигнале (1.7.3), (1.7.4)
Количественной мерой неопределенности, даваемой вероятностной схемой, является энтропия, определяемая известной формулой (1.7.5):
Если бы работа происходила в отсутствии помех, то в результате обработки сигналов априорная неопределенность была бы полностью снята, чему соответствовало бы равенство нулю апостериорной неопределенности . В этом случае после опыта мы получили бы исчерпывающие сведения о сигнале. Количество сведений, получаемых в результате приёма сигналов, оценивается количеством информации, которое в данном случае равно
При создании помех средствам радиосвязи после приема сигналов и их обработки неопределенность полностью не снимается. В первом приближении энтропия, соответствующая апостериорной неопределенности, равна энтропии воздействующего шумового помехового сигнала . Поэтому в условиях воздействия помех количество получаемой информации равно
Таким образом, количество получаемой информации, может быть уменьшено за счет увеличения энтропии помехового сигнала.
Введение энтропии как характеристики качества маскирующих помеховых сигналов позволяет оценивать потенциальные возможности помех безотносительно к конкретным способам их обработки в подавляемых устройствах. Непосредственной характеристикой качества использования располагаемой мощности для создания маскирующих помех (создание неопределенности) является энтропийная мощность помехового сигнала. Применение энтропии помеховых сигналов позволяет в известной мере оценивать их потенциальные помеховые возможности.
Удобство информационных критериев качества помеховых сигналов состоит прежде всего в том, что у разработчика помеховых средств практически всегда имеется необходимая информация для проведения конкретных расчетов по этим критериям.
Особое преимущество рассмотренных информационных критериев, как это уже отмечалось ранее, состоит в том, что они позволяют оценивать качество помеховых сигналов без привязки к конкретным подавляемым устройствам и принципам принятия решения противником в условиях помех. Чтобы применять эти критерии к оценке качества имитационных помеховых сигналов и ложных целей, необходимо знать апостериорные статистические характеристики последних.
Энергетические характеристики помеховых сигналов.
Важной энергетической характеристикой помеховых сигналов является коэффициент подавления. Под коэффициентом подавления понимается (см. п.1.3.2) минимально необходимое отношение энергии данного помехового сигнала к энергии полезного сигнала на входе приемного устройства подавляемого РЭС в полосе пропускания его линейной части, при котором имеет место заданный информационный ущерб.
Информационный ущерб, порождаемый воздействием помех, проявляется в маскировке, имитации, образовании ошибок, перерывов в поступлении информации и др.
Характер информационного ущерба зависит от вида помехового сигнала и подавляемого средства.
Заданный (приемлемый в некотором смысле) информационный ущерб определяется предварительно с помощью оперативно-тактических критериев.
Удобно выражать коэффициент подавления через отношение мощностей помехового и полезного сигналов на входе приемного устройства (в виде минимально необходимого отношения мощностей помехового и полезного сигналов):
.
Здесь – мощность помехового сигнала; – импульсная мощность полезного сигнала.
Численные значения коэффициента подавления могут быть найдены лишь для заданного помехового сигнала и заданного подавляемого устройства.
Таким образом, энергетический критерий в отличие от информационного требует знание конкретных характеристик подавляемых систем.
Если система известна, ее можно подавить с меньшими энергетическими затратами, применяя соответствующие помеховые сигналы, не обязательно оптимальные по информационному критерию.
Когда вероятностные характеристики помехового и полезного сигналов известны и известны характеристики преобразования сигнала и помехи в радиоэлектронном устройстве, то можно определить минимально необходимые энергетические соотношения с помощью теории статистических решений [15, 16]. Так для маскирующих помех коэффициент подавления находится в два этапа. Первоначально по информационным критериям обеспечивается наилучшее качество помехового сигнала. После этого для оптимального по информационному критерию помехового сигнала находится коэффициент подавления им данного радиоэлектронного устройства. Полученное численное значение коэффициента будет приближенным, причем степень приближения для различных критериев принятия решения будет различной.
Как известно, выбор между двумя альтернативными гипотезами (помеха или сигнал + помеха) на основании рассмотрения данной выборки, представляющей собой сумму полезного и помехового сигнал, может быть произведен с помощью ряда критериев (Байеса, минимаксного, Неймана-Пирсона, Котельникова-Зигерта, Вальда). Во всех критериях решение принимается по величине отношения правдоподобия.
, (1.7.8)
где и – многомерные плотности распределения напряжения (тока), имеющие место соответственно в случае аддитивной смеси сигнала и шума и только одного шума.
Делая выбор между двумя альтернативными гипотезами по данной выборке, принимающий решение может допустить ошибки двух родов.
Ошибка первого рода (ложная тревога). Предполагается, что справедлива вторая гипотеза (имеет место помеха + сигнал), в то время как справедлива первая гипотеза (имеет место только помеха).
Ошибка второго рода (пропуск цели). Предполагается, что справедлива первая гипотеза, в то время как имеет место вторая гипотеза.
Принять решение в данном случае – это значит определить границы области R0 значений параметров выборки (реализации) , соответствующих первой гипотезе, и границы области значений этих же параметров, соответствующих второй гипотезе.
Вероятность ошибки первого рода (вероятность ложной тревоги) определится путем интегрирования по области , плотности распределения :
. (1.7.9)
Вероятность ошибки второго рода (вероятность пропуска) определится путем интегрирования по области , плотности распределения :
(1.7.10)
В зависимости от применяемого критерия отношение правдоподобия выбирается так, чтобы обеспечить приемлемые по тем или иным соображениям вероятности ошибок первого и второго рода. Для того чтобы сделать оптимальный выбор между двумя альтернативными гипотезами («только помеха» – «помеха + сигнал») с помощью критерия Байеса, принимающий решения должен знать средний риск
(1.7.11)
где - априорная вероятность справедливости первой гипотезы (только помеха);
– априорная вероятность справедливости альтернативной гипотезы (помеха + сигнал);
– цена ошибки первого рода (ложной тревоги), выраженная в условных единицах измерения (может быть выражена и в рублях);
– цена ошибки второго рода (пропуска цели), выраженная в тех же единицах, что и .
Наблюдатель, использующий критерий Байеса, выбирает границу между областями и таким образом, чтобы обеспечить минимум среднего риска . Соответствующее этому условию отношение правдоподобия называется пороговым и обозначается через Λ0:
. (1.7.12)
Рассмотрим случай одномерныхслучайных величин.
Величина порогового значения отношения правдоподобия в случае одномерных случайных величин и находится путем дифференцирования выражения для среднего риска по . Формула для среднего риска при выборе между двумя альтернативными гипотезами на основании анализа двух случайных величин, представленных одномерными законами распределения и имеет вид
Здесь – плотность распределения случайной величины , если справедлива первая гипотеза; – плотность распределения случайной величины , если справедлива вторая гипотеза.
Дифференцируя по и приравнивая производную нулю, определим условия, при которых обеспечивается минимум . Существование минимума легко доказать путем непосредственного анализа формулы для среднего риска
Оказывается, что , если
в данном примере и является пороговым значением отношения правдоподобия
Наблюдатель, использующий критерий Байеса, функционирует следующим образом. По принятой реализации определяется отношение правдоподобия , которое сравнивается с пороговым значением Λо(v1,…,vn). Если , то принимается первая гипотеза, в противном случае принимается вторая гипотеза. Пороговому значению отношения правдоподобия может быть приведено в соответствие отношение энергии полезного сигнала к энергии помехового сигнала. Это отношение в радиолокации принято называть коэффициентом различимости.
Создающему помехи или разрабатывающему помеховую аппаратуру необходимо интересоваться такими отношениями энергии помехи и энергии сигнала (если речь идет о маскирующих помехах), при которых имеет место неравенство Λ < Λ0. Пороговому значению отношения правдоподобия можно также привести в соответствие некоторое значение отношения энергий помехового и полезного сигналов, которое и следует рассматривать как минимально необходимое. Это минимально необходимое отношение определяет коэффициент подавления. Легко видеть, что коэффициент подавления для маскирующих помех является обратной величиной коэффициента различимости.
При неизвестных точно C0 и С1, а также априорных вероятностях ε и (1-ε) используют минимаксный критерий, когда минимизируют средний риск по порогу и максимизируют по априорным вероятностям ε и (1-ε). Сущность критерия может быть пояснена следующим образом.
Допустим, что принимающий решение на подавляемой РЛС не знает априорной вероятности и произвольно выбирает значение . В этом случае величина среднего риска для принимающего решение определится формулой, записанной для одномерного распределения, в которую вместо и необходимо подставить их значения, соответствующие принятой величине априорной вероятности .
Рис. 1.7.1 Зависимость среднего риска от априорной вероятности .
Указанная подстановка обусловлена тем, что величина , минимизирующая средний риск , определяется значением :
В том случае, когда значение априорной вероятности не равно , величина среднего риска может оказаться как значительно больше, так и меньше, чем .
На рис (1.7.1) изображена примерная зависимость среднего риска от априорной вероятности . в случае байесовского и минимаксного критериев.
Каждая точка этой кривой есть минимальный средний риск, соответствующий данному значению априорной вероятности . Выбранному значению на оси ординат соответствует минимальное значение среднего риска . Если значение априорной вероятности не равно , по которой осуществляется минимизация среднего риска , то соответствующий средний риск будет определяться ординатами точек прямой, касательной к кривой в точке , т.е. . Уравнение этой прямой получается из формулы, если в нее вместо множителей и подставить соответственно и ε :
Чтобы не допустить потерь, больших чем, соответствующих максимуму кривой (ε), принимающий решение должен ориентироваться на значение априорной вероятности . В этом случае прямая, определяющая значения среднего риска для значений , будет параллельна оси абсцисс, т.е. средний риск ни при каких значениях не превысит . Поскольку есть минимальный средний риск, соответствующий априорной вероятности и, кроме того, максимальный среди всех минимизированных по априорным вероятностям средних рисков, его условились называть минимаксным средним риском. Чтобы найти пороговое значение отношения правдоподобия и соответствующее ему граничное значение для минимаксного критерия, необходимо продифференцировать выражение для среднего риска по и приравнять производную нулю. Полученное трансцендентное уравнение позволяет найти искомое значение , соответствующее максимуму минимизированного среднего риска и определяющее пороговое отношение правдоподобия
Очевидно, что, ориентируясь на априорную вероятность , создающий помехи предполагает работу в наиболее выгодных для себя условиях. Коэффициент подавления, соответствующий , может оказаться меньшим, чем для любых других значений .
Применение минимаксного критерия не снимает неопределенности в расчетах коэффициента подавления, поскольку создающему помехи, как правило, неизвестны значение цен и , на которые ориентируется подавляемая сторона.
Критерий Котельникова - Зигерта («идеального наблюдателя») предполагает равенство цен ошибок первого и второго рода . В этом случае минимизация среднего риска эквивалентна минимизации полной вероятности принятия ошибочного решения . «Идеальный наблюдатель» выбирает границу между областями и таким образом, чтобы минимизировать среднюю вероятность ошибочного решения
.
Критерий Котельникова – Зигерта применяется в системах радиосвязи. Так же как и в случае критерия Байеса, организующий помехи, рассчитывая коэффициент подавления по критерию «идеального наблюдателя», может допустить ошибку в силу неточного знания априорной вероятности , на которую ориентируется подавляемый.
Если в радиосвязи допустимо оценивать одинаково ошибки первого и второго рода, то в радиолокации ложная тревога и пропуск цели – события принципиально разной значимости. Кроме того, в радиолокации встречаются трудности с определением, а зачастую и с однозначным толкованием априорных вероятностей. В силу указанных обстоятельств в радиолокации основным критерием для определения порогового отношения правдоподобия и соответствующего ему коэффициента различимости является критерий Неймана–Пирсона.
Критерий Неймана-Пирсонатребует так выбирать границу между областями и , чтобы обеспечить минимум вероятности пропуска сигнала при заданной вероятности ложной тревоги.
Наблюдатель Неймана–Пирсона функционирует следующим образом. По данной выборке (реализации) определяется отношение правдоподобия . Если больше , определяемого по заданной вероятности ложной тревоги , то принимается вторая гипотеза, в противном случае считается справедливой первая гипотеза.
Создающий помехи, рассчитывая коэффициент подавления в соответствии с критерием Неймана–Пирсона, может допустить ошибку за счет неточного знания принятого на подавляемой стороне значения вероятности ложной тревоги. В практических расчетах коэффициента подавления никогда не следует ориентировать на самые легкие условия. Величина коэффициента подавления должна выбираться с таким расчетом, чтобы обеспечить подавление соответствующего радиоэлектронного средства в наиболее неблагоприятных для создающего помехи условиях, если вероятность существования таких условий достаточно велика (не менее 0.5).