СТЕПЕНИ СВОБОДЫ И ТЕОРЕМА ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ.

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Числом степеней свободы твёрдого тела называют число независимых параметров, определяющих положение тела относительно рассматриваемой системы отсчёта. Свободное твёрдое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы.

Теорема: при любом движении твёрдого тела проекции скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки, равны (рис. 13).

Для доказательства теоремы используем зависимость радиус-векторов точек А и В:

.

Возведём обе части в скалярный квадрат. Имеем

но l=const для твёрдого тела. Дифференцируя по времени это выражение, справедливое для любого момента времени, получим

Заменив в этом равенстве

получим

или

Раскрывая скалярные произведения векторов и сокращая на l, имеем

Теорема доказана.

2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Поступательным движением твёрдого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жёстко скрепленная с телом, остаётся параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени.

Свойства поступательного движения характеризует следующая терема: при поступательном движении твёрдого тела траектории, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы.

Если выбрать две точки А и В твёрдого тела, то радиусы-векторы этих точек удовлетворяют условию (рис. 14)

Если продифференцировать по времени это выражение, справедливое для любого момента времени, то получим

В этом соотношении , . Кроме того, для , постоянного по модулю и направлению вектора, . Таким образом, для любого момента времени имеем

.

Дифференцируя по времени и учитывая, что

, ,

получим

.

Поступательное движение твёрдого тела полностью характеризуется движением одной точки тела, т.е.

(1)

Следовательно, твёрдое тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы и уравнения (1) считаются уравнениями поступательного движения твёрдого тела.

 

3. ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ