Самосогласованное поле в условиях приблизительного синхронизма электронов и волны

Выразим напряжение U через напряженность продольного электрического поля в замедляющей системе. Полагая

можно связать амплитуду напряжения U₁ с амплитудой напряжен­ности E_zm соотношениями

Подставим величину конвекционного тока ,

в уравнение . С учетом и получаем харак­теристическое (дисперсионное) уравнение ЛБВ в виде

Основной интересующей нас величиной в этом уравнении является постоянная распространения Г в присутствии электронного луча. В самом деле, затухание или нарастание волны определяется дей­ствительной частью постоянной Г. Поскольку непосредственное ре­шение оказывается весьма громоздким, следует задаться ра­зумными допущениями.

Из качественных соображений было показано, что наибольший ин­терес представляет случай, когда средняя скорость электронов v₀ близка к фазовой скорости волны. С другой стороны, можно инту­итивно предположить, что постоянная распространения Г в присут­ствии электронного пучка не должна существенно отличаться от постоянной распространения Г₀ в «холодной» замедляющей системе. Поэтому имеет смысл подробнее проанализировать характеристи­ческое уравнение при близких значениях Г, Г₀ и β_эл.

Допустим, что электронное волновое число р_эл в точности равно фазовой постоянной «холодной» замедляющей системы, т. е.

Таким образом, положим в основу дальнейших расчетов, что началь­ная скорость электронов сделана в точности равной фазовой скоро­сти замедленной волны в отсутствие электронного потока. Предпо­ложим также, что под действием электронного потока постоянная распространения Г лишь незначительно отличается от величины Г₀:

где ξ — некоторая малая величина, которая в общем случае может иметь комплексный характер.

Подставим предположенные значения Г и Г₀ в уравнение:

Исходя из малости величины ξ, получаем:

Обозначим через С безразмерный параметр усиления, равный

Полагая , можно записать решение для величины ξ в виде

 

Следовательно, по замедляющей системе в присутствии электрон­ного потока в принятом приближении могут распространяться три волны, имеющие одинаковую структуру поля, но различные постоян­ные распространения. Подставляя найденные корни в уравнение и используя , получаем постоянные распростране­ния трех волн в виде

В общем случае постоянные распространения Г и Г₀ следует счи­тать комплексными:

Однако «холодная» замедляющая система возбуждается в режиме распространяющихся волн и, как было предположено в начале расчета, не имеет активных потерь. Поэтому α₀ = 0 и вместо Г₀ следует подставить чисто мнимую величину jβ₀; при принятых допущениях нужно положить: β₀= β_эл.Тогда постоянные распростра­нения трех волн в присутствии электронного потока оказываются равными

Нетрудно видеть, что фазовые постоянные первой и второй волн β₁ и β₂ превышают постоянные β₀ и β_эл. Но фазовые постоянные свя­заны с соответствующими фазовыми скоростями и со ско­ростью электронов v₀ соотношениями

 

Следовательно, фазовые скорости первой и второй волн υ_ф1 и υ_ф2 несколько меньше фазовой скорости υ_ф0 в «холодной» системе. Третья волна, наоборот, имеет несколько большую фазовую скорость.

Таким образом, первая волна двигается немного медленнее элект­ронов и имеет положительное затухание (α₁ > 0). Вторая волна также двигается медленнее электронов, но обладает отрицательным зату­ханием (а₂<0)- Третья волна является незатухающей (α₃ = 0) и двигается несколько быстрее электронов. Для работы усилитель­ных ламп бегущей волны наибольший интерес представляет вторая волна, амплитуда которой растет вдоль линии по экспоненциальному закону.